hihocoder #1068 : RMQ-ST算法 ( RMQ算法 O(nlogn)处理 O(1)查询 *【模板】 1)初始化d数组直接读入+计算k值用数学函数log2()==*节约时间 )

#1068 : RMQ-ST算法

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描述

小Hi和小Ho在美国旅行了相当长的一段时间之后，终于准备要回国啦！而在回国之前，他们准备去超市采购一些当地特产——比如汉堡（大雾）之类的回国。

但等到了超市之后，小Hi和小Ho发现者超市拥有的商品种类实在太多了——他们实在看不过来了！于是小Hi决定向小Ho委派一个任务：假设整个货架上从左到右拜访了N种商品，并且依次标号为1到N，每次小Hi都给出一段区间[L, R]，小Ho要做的是选出标号在这个区间内的所有商品重量最轻的一种，并且告诉小Hi这个商品的重量，于是他们就可以毫不费劲的买上一大堆东西了——多么可悲的选择困难症患者。

（虽然说每次给出的区间仍然要小Hi来进行决定——但是小Hi最终机智的选择了使用随机数生成这些区间！但是为什么小Hi不直接使用随机数生成购物清单呢？——问那么多做什么！）

提示一：二分法是宇宙至强之法！（真的么？）

提示二：线段树不也是二分法么？

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提示一：二分法是宇宙至强之法！（真的么？）

虽说小Ho身经百战，但是面对这样一个他从来没有接触过的问题也一时挠头——数据范围的N和Q都在10^6这个级别，这就意味着至少需要一个时间复杂度为O(Nlog(N))才能解决这个问题。

“如果我对于每个询问都扫描对应的区间，找到最小的值，那么最坏情况和平均情况下都是O(NQ)的时间复杂度，无论数据是不是随即生成的，都不是一个很好的选择。”小Ho如是想道：“这就意味着我需要事先进行一些预处理，使得一些重复计算的东西不再重复计算，才能够将复杂度降低下来。”

小Ho暗自点头，随即想道：“那么如果我对于这整个区间维护一个线段树，维护每棵子树中的最小值，是不是就可以完美解决这个问题了呢？”，于是对小Hi说道：“我觉得线段树可以很好的解决这个问题！。”

“没有错呢~但是相比于线段树来说，我有一个更为容易事先的算法，你想不想听？”小Hi点了点头道。

“更容易实现？就是代码量更小咯？”小Ho作为一个懒病患者自然是很乐意：“快教我！”

“其实你利用线段树也就是这样来减少复杂度的——先预先计算一些区间的最小值，然后把每个询问都拆成若干个计算了最小值的区间，并且统计这些区间的最小值的最小值，从而得出答案的。”小Hi先总结道：“那么其实我可以将统计的区间这样规定——统计所有长度为2的非负整数次幂的区间。”

“整数次幂？也就是长度为1、2、4、8之类的区间咯？”小Ho答道：“我想想……如果我统计的是这些长度的区间的话，用pre_calc[L, Len]表示左边界为L，长度为Len的区间中的最小值——那么对于一个询问[Li, Ri]，我只要找到小于这个区间长度的最大的2的非负整数次幂——T，那么这个区间中的最小值就是min{pre_calc[Li, T], pre_calc[Ri-T+1, T]}咯？”

“反应的很快嘛，你看这样对于每一个询问，是不是就可以只用O(1)的时间复杂度就可以作出回答了，而且就只用一条很简单的语句而已。”小Hi笑道。

“但是我还不知道怎么求这些pre_calc啊？”小Ho不禁问道。

“我先问你，对于所有的i满足1<=i<=N, pre_calc[i, 1]是不是很好求？”小Hi反问道。

“唔……是的，pre_calc[i, 1]就是标号为i的物品的重量weight_i。”小Ho答道。

“那么对于，所有的i, j满足1<=i<=N, 1<2^j<=N，pre_calc[i, 2^j]=min{pre_calc[i, 2^(j-1)], pre_calc[i+2^(j-1), 2^(j-1)]}是不是成立的？”小Hi继续问道。

“额……将一个区间，分解成两个一半长度的区间，利用已经求出的值进行计算，非常的合理！”小Ho赞叹道：“甚至于只需要一个二维循环就能够计算出来了。”

“怎么样！是不是比线段树简单许多呢？”小Hi笑道。

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提示二：线段树不也是二分法么？

“那这又是为什么呢……我感觉这两种方法都是二分区间啊。”小Ho生出一个疑问。

“这是由于这道题目的性质决定的啦，这个区间上的值都是已经确定的——如果在询问的过程中，这些商品的重量还会发生改变，那么自然就不是我们之前提到的算法——ST算法能够解决的了。”小Hi点出了一个要点。

“原来是这样，等等我还发现这和求的是最值有关，如果求的是和值的话，由于[Li, T]和[Ri-T+1, T]这两段区间可能会有重叠的情况，所以也是无法求解的呢！”小Ho很快也找到了另一个问题。

“是的呢！所以你现在应该知道了把——充分利用题目的特性，就能够很好的减少你编程的复杂度~当然你还要注意到这两种算法的时间复杂度其实是不一样的哦，但是因为这里的N和Q是一个数量级，所以才不会影响到你的解题方法呢。”

“原来是这样！”小Ho点了点头：“那么我去写程序啦！”

Tips:在记录pre_calc[i, 2^j]的时候，不要傻乎乎的就这么存了，事实上只要用pre_calc'[i, j]的格式进行存储就可以了！

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输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第1行为一个整数N，意义如前文所述。

每组测试数据的第2行为N个整数，分别描述每种商品的重量，其中第i个整数表示标号为i的商品的重量weight_i。

每组测试数据的第3行为一个整数Q，表示小Hi总共询问的次数。

每组测试数据的第N+4~N+Q+3行，每行分别描述一个询问，其中第N+i+3行为两个整数Li, Ri，表示小Hi询问的一个区间[Li, Ri]。

对于100%的数据，满足N<=10^6，Q<=10^6, 1<=Li<=Ri<=N，0<weight_i<=10^4。

输出

对于每组测试数据，对于每个小Hi的询问，按照在输入中出现的顺序，各输出一行，表示查询的结果：标号在区间[Li, Ri]中的所有商品中重量最轻的商品的重量。

样例输入

10
7334
1556
8286
1640
2699
4807
8068
981
4120
2179
5
3 4
2 8
2 4
6 8
7 10

样例输出

1640
981
1556
981
981

这是一张d数组处理数据之后的数值存储显示：


代码：

#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>

using namespace std;
int d[100002][22];

int RMQ(int ll, int rr)
{
    int k = log2(rr - ll + 1); //此函数只能让其返回到一个int变量里，不要直接用，
                               //否则返回的值是错误的

    /* 也可以这样写
    int k=0;
    while(1<<(k+1)<=(rr-ll+1))
    {
        k++;
    }
        */
        //为了节约时间，不建议这样写
    return min( d[ll][k], d[rr-(1<<k)+1][k] ); //返回这两个区间的最小值，要知道我们所查询的区间
                                               //在这两个区间中
}

int main()
{
    int n, m;
    //输入n个值， 进行m次询问
    int i, j;
    scanf("%d", &n);

    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d", &d[i][0] ); //d数组的第一列初始化，以后都要这样写，不要先读入到其他数组了
        //要不然容易超时
    }
    for(j=1; (1<<j)<=n; j++) //以j来控制下层循环的查询半区间
    {
        for(i=1; i+(1<<j)-1<=n; i++ ) //i用来移动d数组的存储指针, 保存当前两个半区间的最小值
        {
            d[i][j] = min(d[i][j-1], d[i+(1<<(j-1))][j-1]) ;
        }
    }
    scanf("%d", &m); //查询次数
    int ll, rr;

    for(i=0; i<m; i++ )
    {
        scanf("%d %d", &ll, &rr );
        printf("%d\n", RMQ(ll, rr ) );
    }

    return 0;
}