RMQ—ST表

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），RMQ是一个求给定范围内最大最小值的问题。我们一般使用st算法来解决这类问题（Sparse Table）。这个算法原理不难，主要是各种边界条件容易错

比如一个数组num[1000]，我们想求num[x]~num[y]之间所有数的最大或最小值，如果只有一对x，y显然这个问题很好解决，但如果多对x，y或者任意一段长度内的最大最小值就不是那么好求了。

st算法是一个动态规划又有点类似二分的算法，通过维护一个二维数组st[i][j]，st[i][j]代表的是num[i]~num[i+2^j-1]这段子数组之间的所有数的最大或最小，为什么是i+2^j-1？这是为了保证这个子数组一共有2^j个数，自己简单推一下就知道了。

我们发现st[i][0]就是num[i]~num[i+2^0-1]间的最大最小值，显然就只能是num[i]，这样我们就能初始化st[i][0]，而剩下的我们通过状态转移方程：

st[i][j] = min/max( st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1] )得到 ，<<是位运算，相当于得到2^(j-1)这个数，这个状态转移方程基本上就是二分，num[i]~num[i+2^j-1] 可以分成两个子数组num[i]~num[i+2^(j-1)-1] 和 num[i+2^(j-1)]~num[i+2^j-1]（这也是为什么st要定义成2的次方形式，就是为了方便二分），两个子数组都有2^(j-1)个数

根据st的定义，稍微推算一下就可以得出状态转移方程，由于我们第一步推了st[i][0]的所有值，而状态方程都有[j-1]这个形式，所以构建整个st数组可以通过两重循环，j在外i在内，从j=1开始(j-1=0）。

这些都好理解，蛋疼的是边界的确定，一定要理解你写的边界究竟是数组形式(0~n-1)还是从1~n的形式

 void RMQinit( int lhs, int rhs )
 {
     for( int i = lhs; i < rhs; i++ )
         st[i][] = num[i];

     for( int j = ; lhs + (<<j) -  < rhs; j++ )
         for( int i = lhs; i + (<<j) -  < rhs; i++ )
             st[i][j] = min( st[i][j-], st[i + (<<(j-))][j-] );
 }

光求了st数组还不够，比如我们要找num[600]~num[999]之间的最大最小，而st都是以2的 次方形式给出，999-600+1= 400，400又是2的几次方呢？

所以我们寻找与400最接近但又不大于400的2的次方数，即256（这样能保证600~999这段区间一定会被覆盖完全），这样分别寻找600~600+256，和999-256+1~999间最大最小，再在这两个值中取最大最小。

 int find( int lhs, int rhs )
 {
     int k = (int)(log10((rhs-lhs+))/log10(2.0));
     return min( st[lhs][k], st[rhs-(<<k)+][k] );
 }

比如这段代码，如果输入find（600，999）k就是400取以2为底的对数，取整后就应该是8，2^8就是256，这样st[lhs][k]就是600~600+2^8，st[rhs-(1<<k)+1][k]就是999-2^8+1-999