BZOJ 2693: jzptab 莫比乌斯反演 + 积性函数 +筛法

Description

Input

题解：

这次是多组询问，上次推出来的式子是 $O(n)$ 的，我们需要更快的算法.

 

先定义几个后面可能会用到的函数:(在本题弱化版中推出来的)

 

$Sum(n,m)=\frac{n(n+1)}{2}\times \frac{m(m+1)}{2}$

 

$calc(n,m)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)d^2Sum(\frac{n}{d},\frac{m}{d})$

 

则 $ans=\sum_{d=1}^{n}d\times calc(\frac{n}{d},\frac{m}{d})$

 

把式子展开:

 

$=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{b=1}^{\frac{n}{d}}\mu(b)b^2Sum(\frac{n}{db},\frac{m}{db})$

 

令 $D=db$ ，得：

 

$\sum_{D=1}^{n}Sum(\frac{n}{D},\frac{m}{D})\sum_{d|D}d\times\mu(\frac{D}{d})\times(\frac{D}{d})^2$ 

 

看上去有点别扭，再稍微改动一下：

 

$\sum_{D=1}^{n}Sum(\frac{n}{D},\frac{m}{D})\sum_{d|D}\frac{D}{d}\times\mu(d)\times d^2$ 

 

前面 $\sum_{D=1}^{n}Sum(\frac{n}{D},\frac{m}{D})$ 这个部分好像没法优化了，只能$\sqrt{n}$ 硬算.

 

好在 $f(D)=\sum_{d|D}\frac{D}{d}\times\mu(d)\times d^2$ 是一个积性函数,可以线筛.

 

只需分三种情况讨论即可：

 

(1) $x$ 为质数.$\Rightarrow$ $f(x)=x^{2}-x$ (只有 $d=1,d=D$ 时有贡献）

 

(2) $a,b$ 互质.$\Rightarrow$ $f(ab)=f(a)f(b)$ (积性函数定义）

 

(3) $p|i$ ,且 $p$ 为质数, $i$ 中 $p$ 的指数为 $1$

 

$f(i)=\sum_{d|i}\frac{i}{d}\times\mu(d)\times d^2$

 

$f(i\times p)=\sum_{d|i\times p}\frac{i\times p}{d}\times\mu(d)\times d^2$

 

由 $\mu$ 的定义可知,当一个数有质因子次幂大于 $1$ 时值为 $0$ ,即无贡献.

 

那么，$f(i\times p)$ ，$d$ 中 $p$ 的幂次必小于等于 $1$.

 

而 $f(i)$ 中所有 $d$ 中 $p$ 的次幂本来就小于等于 $1$.

 

故 $f(i)$ 与 $f(i\times p)$ 中有贡献的因子是完全相同的.

 

唯一不同就是 $f(i\times p)=f(i)\times p$

 

既然讨论好上面 $3$ 种情况，我们就可以愉快地线筛 $f(x)$ 啦！！

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define M 10001000
#define maxn 10200100
#define MOD 100000009
using namespace std;
int cnt, tot;
int vis[maxn],mu[maxn], prime[maxn];
ll h[maxn], sumv[maxn];
void init()
{
    int i,j;
    h[1]=1;
    for(i=2;i<M;++i)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i, h[i]=(i-(ll)i*i)%MOD;
        for(j=1;j<=tot&&prime[j]*i<M;++j)
        {
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                h[prime[j]*i]=(prime[j]*h[i])%MOD;
                break;
            }
            else  h[prime[j]*i]=(h[prime[j]]*h[i])%MOD;
        }
    }
    for(i=1;i<M;++i)   sumv[i]=(sumv[i-1]+h[i])%MOD;
}
ll SUM(ll x,ll y)
{
    x%=MOD, y%=MOD;
    ll r1=(x*(x+1)>>1)%MOD;
    ll r2=(y*(y+1)>>1)%MOD;
    return (r1*r2)%MOD;
}
ll query(ll n,ll m)
{
    int i,last,re=0,j;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(i=1;i<=n;i=j+1)
    {
        j=min(n/(n/i), m/(m/i));
        re += SUM(n/i, m/i) * (sumv[j]-sumv[i-1])%MOD;
        re%=MOD;
    }
    return (re+MOD)%MOD;
}
int main()
{
    init();
    int n,m,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",query(n,m));
    }
    return 0;
}