[Luogu P3723] [AH2017/HNOI2017]礼物 (FFT 卷积)

题面

传送门：洛咕

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Solution

调得我头大，我好菜啊

好吧，我们来颓柿子吧：

我们可以只旋转其中一个手环。对于亮度的问题，因为可以在两个串上增加亮度，我们也可以看做是可以为负数的。

所以说，我们可以假设我们旋转\(B\)串，上下要加上的亮度差为\(p\),可以直接拍出一个最暴力的柿子：

设\(f(x)\)表示\(B\)串以\(x\)为开头的差异值，有：

\(f(x)=\sum_{i=0}^{x-1}(B[i]-A[i+n-x]+p)^2+\sum_{i=x}^{n-1}(B[i]-A[i-x]+p)^2\)

大力展开化简后有：

\(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}A[i]^2+\sum_{i=0}^{n-1}B[i]^2+n*p^2-2p\sum_{i=0}^{n-1}(A[i]-B[i])-2\sum_{i=0}^{x-1}(B[i]*A[i+n-x])-2\sum_{i=x}^{n-1}(B[i]*A[i-x])\)

前两项\(\sum_{i=0}^{n-1}A[i]^2+\sum_{i=0}^{n-1}B[i]^2\)显然\(O(n)预处理出来\)

中间两项\(n*p^2-2p\sum_{i=0}^{n-1}(A[i]-B[i])\)是一个关于\(p\)的二次函数，我们找最小值就好。（因为这题\(m\)非常小，我们也可以暴力枚举），复杂度\(O(1)\)或\(O(m)\)。

最后两项\(-2\sum_{i=0}^{x-1}(B[i]*A[i+n-x])-2\sum_{i=x}^{n-1}(B[i]*A[i-x])\)看起来非常像卷积，但是并不是，因此我们得做点处♂理。

蒟蒻本人是这样处理的：

首先，后面那个循环范围是肯定没法卷的，因此我们先把后面的循环处理一下得：

\(-2\sum_{i=0}^{x-1}(B[i]*A[i+n-x])-2\sum_{i=0}^{n-x-1}(A[i]*B[i+x])\)

然后我们可以考虑把前面那项的\(A\)反转(这样可以处理掉\(n\)来方便卷积)，把后面那项的\(B\)反转(这样可以制造\(n\)与\(\sum\)对应)

\(-2\sum_{i=0}^{x-1}(B[i]*A'[x-1-i])-2\sum_{i=0}^{n-x-1}(A[i]*B'[n-1-i-x])\)

哦豁，卷积，搞定。

时间复杂度\(O(n*logn)\)

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Code

我什么时候才能一次性写对FFT啊

//Luogu P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物
//Jan,20th,2019
//颓柿子+FFT加速计算
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long read()
{
	long long x=0,f=1; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
const int M=50000+100;
const int N=M*4;
const double PI=acos(-1);
typedef complex <double> cp;
inline cp omega(int K,int n)
{
	return cp(cos(2*PI*K/n),sin(2*PI*K/n));
}
void FFT(cp a[],int n,bool type)
{
	static int tmp[N],num=n-1,len=0;
	while(num!=0) num/=2,len++;
	for(int i=0,j;i<=n;i++)
	{
		for(j=0,num=i;j<len;j++)
			tmp[j]=num%2,num/=2;
		reverse(tmp,tmp+len);
		for(j=0,num=0;j<len;j++)
			num+=tmp[j]*(1<<j);
		if(i<num) swap(a[i],a[num]);
	}
	for(int l=2;l<=n;l*=2)
	{
		cp x0=omega(1,l);
		if(type==true) x0=conj(x0);
		int m=l/2;
		for(int j=0;j<n;j+=l)
		{
			cp x(1,0);
			for(int k=0;k<m;k++,x*=x0)
			{
				cp temp=x*a[j+k+m];
				a[j+k+m]=a[j+k]-temp;
				a[j+k]=a[j+k]+temp;
			}
		}
	}
}
int n,m,a[N],b[N];
cp B1[N],A1[N],B2[N],A2[N];
long long ans;
int main()
{
	freopen("3723.in","r",stdin);

	n=read(),m=read();
	for(int i=0;i<n;i++)
		a[i]=read();
	for(int i=0;i<n;i++)
		b[i]=read();

	long long dif=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		ans+=a[i]*a[i]+b[i]*b[i],dif+=a[i]-b[i];
	long long t_ans=0x3f3f3f3f*0x3f3f3f3f;
	for(int i=-m;i<=m;i++)
		t_ans=min(t_ans,n*i*i-2*i*dif);
	ans+=t_ans;

	int t=1;
	while(t<2*n) t*=2;
	reverse(a,a+n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		A1[i]=a[i],B1[i]=b[i];
	FFT(A1,t,false);
	FFT(B1,t,false);
	for(int i=0;i<t;i++)
		A1[i]*=B1[i];
	FFT(A1,t,true);
	for(int i=0;i<t;i++)
		A1[i].real()/=t;

	reverse(a,a+n);
	reverse(b,b+n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		A2[i]=a[i],B2[i]=b[i];
	FFT(A2,t,false);
	FFT(B2,t,false);
	for(int i=0;i<t;i++)
		A2[i]*=B2[i];
	FFT(A2,t,true);
	for(int i=0;i<t;i++)
		A2[i].real()/=t;

	t_ans=(long long)(2*floor(A2[n-1].real()+0.5));
	for(int i=1;i<n;i++)
		t_ans=max(t_ans,(long long)(2*floor(A1[i-1].real()+A2[n-i-1].real()+0.5)));
	ans-=t_ans;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}