多项式&生成函数（~~乱讲~~）

多项式

多项式乘法

FFT，NTT，MTT不是前置知识吗？随便学一下就好了（虽然我到现在还是不会MTT，exlucas也不会用）
FTT总结
NTT总结

泰勒展开

如果一个多项式\(f(x)\)在\(x0\)时存在n阶导（就是可以求导\(n\)次），那么可以换成下面这样的一个式子：
\(\begin{aligned}f(x)&=f(x0)+\frac{f^1(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f^2(x0)}{2!}(x-x0)^2+...+\frac{f^n(x0)}{n!}(x-x0)^n+\xi\\&=\sum_{i=0}^n \frac{f^i(x0)}{i!}(x-x0)^i+\xi\end{aligned}\)
实在是不想写MathJax了，蒯一波yyb的

反正余项\(\xi\)趋近于无穷小(因为\(n\)趋近于无穷大),然后就可以忽略了.

然后如果\(x0=0\)的时候就可以直接搞了。

最常见的就是\(e^x\),因为这个东西是可以无限求导的.

套到之前的式子里面就是:

\(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)

牛顿迭代

不会证明，背背公式就好了。
\(B_{t+1}(x)=B_t(x)-\frac{F(B_t(x))}{F'(B_t(x))}\)

多项式求逆

随便推一下就可以了。
就是考虑\(A\)为原来的，\(B\)为逆数组；
这个东西可以套到牛顿迭代的式子里面去，然后就没了。

多项式的其他操作

挖坑待补（一般性都不要用）

生成函数

普通型生成函数(OGF)

给出一个数列\(a_0,a_1,a_2,...\)

它的OGF就是
\[
F(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...
\\
=\sum_{i=0}^{\infty}a_i*x^i
\]

指数型生成函数(EGF)

给出一个数列\(a_0,a_1,a_2,...\)

它的EGF就是
\[
F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{i!}*x^i
\]

OGF拓展

我们发现如果把斐波那契数列弄成一个生成函数的话,很显然就是:

\(F(x)=0+1*x+1*x^2+2*x^3+3*x^4+...\)

然后我们同时乘一下\(x\)

\(F'(x)=0+1*x^2+1*x^3+2*x^4+...\)

然后裂项一下就是:

\(F(x)-F'(x)=0+1*x+0+1*x^3+1*x^4+2*x^5\)

然后这样子就变成了:

\(x+x^2(0+1*x+1*x^2+...)\)

也就是说:\(F(x)-F'(x)=x+F(x)*x^2\)

发现这是一个好东西:

\(F(x)-x*F(x)=x+F(x)*x^2\)

然后移一下项就是:

\(F(x)*(x^2+x-1)*F(x)=-x\)

发现我们要求的是\(F(x)\),就可以写成:

\(F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)

这个东西求的话还是线性的,考虑接着化简

最后就是这么一个烂玩意:

\(fib_n = -\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n + \frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\)

OGF和EGF的区别

我们发现EGF的公式多除了一个阶乘,也就意味分子多乘了一个阶乘,那么阶乘在排列组合下的意义是什么?

顺序,所以EGF和OGF的应用也就出来了:

• OGF表示的是组合意义.
• EGF用于求排列下的一些东西

引例:

1.现在有A,B两种物品,A中的物品只能够取奇数个,B中的只能取3的倍数个,求取n个有多少种方法(忽略取出的顺序)

考虑讲这两个写出来就是:

\(A(x)=1+3*x+5*x^2+...\)

\(B(x)=0+3*x+6*x^2+...\)

然后把这两个卷起来的第\(n\)项就是答案

---

2.现在有A,B两种物品,A中的物品只能够取奇数个,B中的只能取3的倍数个,求取n个有多少种方法(考虑取出的顺序)

考虑顺序的话就是EGF,还是像上面一样写出来

\(A(x)=\frac{1}{1!}x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5...\)

\(B(x)=1+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+...\)

然后我们就可以感觉这两个东西和我们之前有一个很像:

\(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)

不是吗?

然后考虑\(x\)与\(-x\)的展开和这个东西好像截然相反...

然后搞一下就好了.

所以:

\(A(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)

\(B(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

然后这两个东西就很简单了.

应用

例题什么的蒯一发yyb的不就好了

字符串配对匹配相关

回文串匹配

BZOJ3160 万径人踪灭 Solution

考虑下面的这样一个回文串的式子：
\(s[x+i]=s[x-i]\)，显然\(x\)是回文中心，然后考虑\((x-i)+(x+i)=2x\)这样的式子，不难发现就是一个卷积，然后就很简单了。

考虑只有两种,a或b,分别对于这两种字母作为1|0搞一下

按照上面的做法卷起来-回文串的个数就是答案了.

有向图计数

具体观看Solution of DAG

未完待续