BZOJ.2440.[中山市选2011]完全平方数(莫比乌斯函数 二分)

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总感觉博客园的\(Markdown\)很。。\(gouzhi\)，可以看这的。

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题意即求第\(k\)个无平方因子数。

无平方因子数(Square-Free Number)，即分解之后所有质因数的次数都为1的数

可以想到莫比乌斯函数，假设\(n\)是答案，那么有$$k=n-\sum_{i=1}^n(1-|\mu(i)|)$$

（从这里能看出\(x\)的上界，后面的\(\sum\)肯定是\(<\frac{n}{2}\)的，所以\(n\leq 2*k\)）

二分一个\(n\)，求\([1,n]\)中有多少个无平方因子数。

既然带着个平方就都开方。根据容斥，对于\([1,\sqrt{n}]\)中的质数，答案为$$[1,n]中0个质数平方倍数的个数-1个质数平方倍数的个数+2个质数平方倍数的个数-\ldots$$

即对于奇数个质数平方贡献为负，偶数个贡献为正，枚举这些质因子。若存在某个质因子的次数\(>1\)，那么对答案没有影响(如\(pi^2*pj^2\)在计算\(pi*pj\)时统计了个数)。这也符合莫比乌斯函数的特点。那么答案可以写为：$$\sum_{i=1}^{{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\mu(i)*\lfloor\frac{n}{i}2}\rfloor$$

也可以整除分块... 右端点是这样的：\(r=\sqrt{\frac{n}{n/i^2}}\)。

\(r\)最大是\(2e9\)，所以\(l+r\)可能爆int！

就我被这个坑朝了吧。。

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#include <cmath>
#include <cstdio>
const int N=5e4;

int cnt,P[10005],mu[N+3],pw[N+3];
bool Not_P[N+3];

void Init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2; i<N; ++i)
	{
		if(!Not_P[i]) P[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1; j<=cnt&&i*P[j]<N; ++j)
		{
			Not_P[i*P[j]]=1;
			if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*P[j]]=0; break;}
		}
	}
	for(int i=1; i<N; ++i) pw[i]=i*i;
}
bool Check(long long n,int K)
{
	int res=0;//res=n
	for(int i=1,lim=sqrt(n); i<=lim; ++i)
		if(mu[i]/*这个?*/) res+=mu[i]*(n/pw[i]);
	return res>=K;
}

int main()
{
	Init();
	int T,K; scanf("%d",&T);
	long long l,r,mid;//!
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&K), l=1, r=K<<1;
		while(l<r)
			if(Check(mid=(l+r)>>1,K)) r=mid;
			else l=mid+1;
		printf("%lld\n",l);
	}
	return 0;
}