CF712E [Memort and Casinos]

题意

每次询问一段区间[l,r]，求从最左边走到最右边（r+1）的概率（若走到l-1，则GG了），每个点上写有向右走的概率。支持单点修改。

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思考

若只查询一次，那只要知道每个点在不走到l-1的情况下，向右移动一格的概率就行了，最后乘起来就是答案。

但我们忽略了一件事情，若从一个区间的某一点出发，从左边走出去和右边走出去的概率和为1（不可能停在中间），于是我们要设计一个状态，并能够合并，这样才有可能优化复杂度。

设 [l,r] 区间的L为从第l个点（最左边）出发，在右边走出去的概率，R为第R个点出发，在左边走出去的概率。

[L1	-->	R1]	[L2	-->	R2]
[ L	--	--	--	-->	R ]

请记住，他们每个的实际意义。因为每个点要么从左边走出去，要么从右边走出去，所（1-L1）的实际意义就是从（左边出发，不从右边走出），即（从左边出发，从左边走出去的概率）。

那么若有两个连续的区间，合并成一个新区间会有怎样的答案？ 设左右两个区间的答案分别为L1,R1,L2,R2，则：

L   =       L₁*L₂                                                                      走到右边还要再走到更右边

+   L₁(1-L₂)(1-R₁)*L₂                                               第一次向右边走失败了，再退回来再向右走

+   L₁(1-L₂)(1-R₁)(1-L₂)(1-R₁)*L₂                         反反复复.......

+.......

整理一下，
                   L   =   L₁L₂+L₁L₂(1-L₂)(1-R₁)+L₁L₂(1-L₂)²+.......
(1-L₂)(1-R₁)L   =   L₁L₂(1-L₂)(1-R₁)+L₁L₂(1-L₂)²+.......

作差，

L(1-(1-L₂)(1-R₁))=L₁L₂

L=L₁L₂/(1-(1-L₂)(1-R₁))

R也可以类似地得到，但注意它们的和不一定为1，因为是两个不同的端点。

简单地线段树维护。

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代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=1E5+;
 int n,m;
 double x,y,a[maxn];
 struct tree{int l,r;double L,R;}t[maxn*];
 tree merge(tree x,tree y)
 {
     tree z;
     z.l=x.l;z.r=y.r;
     z.L=x.L*y.L/(-(-y.L)*(-x.R));
     z.R=x.R*y.R/(-(-y.L)*(-x.R));//不要认为反一反就对了QAQ
     return z;
 }
 void build(int l,int r,int num)
 {
     t[num].l=l,t[num].r=r;
     if(l==r)
     {
         t[num].L=a[l];
         t[num].R=-a[l];
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(l,mid,num*);build(mid+,r,num*+);
     t[num]=merge(t[num*],t[num*+]);
 }
 void change(int pos,double val,int num)
 {
     if(t[num].l==t[num].r)
     {
         t[num].L=val;
         t[num].R=-val;
         return;
     }
     int mid=(t[num].l+t[num].r)>>;
     if(pos<=mid)change(pos,val,num*);
     else change(pos,val,num*+);
     t[num]=merge(t[num*],t[num*+]);
 }
 tree ask(int L,int R,int num)
 {
     if(L<=t[num].l&&t[num].r<=R)return t[num];
     int mid=(t[num].l+t[num].r)>>;
     if(R<=mid)return ask(L,R,num*);
     else if(mid<L)return ask(L,R,num*+);
     else return merge(ask(L,R,num*),ask(L,R,num*+));
 }
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(false);
     cin>>n>>m;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         cin>>x>>y;
         a[i]=x/y;
     }
     build(,n,);
     while(m--)
     {
         int opt,d;
         cin>>opt;
         if(opt==)
         {
             cin>>d>>x>>y;
             change(d,x/y,);
         }
         else
         {
             int l,r;
             cin>>l>>r;
             cout<<fixed<<setprecision()<<ask(l,r,).L<<endl;
         }
     }
     return ;
 }