清北学堂例题 LUOGU2523【HAOI2011】problem c

题目描述

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

输入格式

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

输出格式

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

输入输出样例

输入 #1复制

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

输出 #1复制

YES 4
NO

说明/提示

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤10^9，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。

思路：

首先需要证明一个前提：当且仅当一个序列从小到大排序的第i项小于等于i对i从1到N恒成立，该序列合法，否则不合法。①

比如说1 1 3 4 5合法，1 3 3 4 5不合法。

丝毫不严谨的证明：显然1 2 3 4 5合法，且1 1 3 4 5优于1 2 3 4 5，所以1 1 3 4 5必然合法

如果不满足①，则必然可以找到一个位置使得第i项大于i，则包括此位置在内的后缀序列（例如上个例子就是3 3 4 5）就会出现人数比座位数多的情况，显然不合法。

同时可以看到，序列是否合法只与构成有关，与排序无关。

定义状态dp[ x ] [ y ]表示对前 x 个位置，自己安排（不包括钦定）的人数有 y 人的方案总数。

则有 dp[ 0 ] [ 0 ] = 1，dp[ i ] [ j ] =∑ dp[ i - 1] [ k ] + c[ n - m - k ] [ j - k ]

其中 j>=i-num[ i ] ，j >= k >= i-1 - num[i-1]

num [ i ] 表示前 i 个编号的座位被强制钦定的人数

c是预处理的组合数数组

代码：（好丑）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long

using namespace std;
const int maxn=;
int loc,temp;
int n,m,MOD;
int vis[maxn];
int num[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int c[maxn][maxn];
inline void init(int n,int MOD) {
    c[][]=;
    for (int i=;i<=n;i++) {
        for (int j=;j<=i;j++) {
            c[i][j]=c[i-][j]+c[i-][j-];
            c[i][j]%=MOD;
        }
    }
} 

inline void work(){
    dp[][]=;
    for (int i=;i<=n;i++) {
        for (int j=i-num[i];j<=n-m;j++) {//j为本次转移后安排的人数（不包括钦定人数）
            for (int k=j;k>=i--num[i-];k--) {//k为上一次安排人数，则x=j-k为本次安排人数，需满足    <x<
                int res=n-m-k;//可调用人数
                dp[i][j]+=dp[i-][k]*c[res][j-k];
                dp[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[n][n-m]);
}

signed main(){
    int T;
    scanf("%lld",&T);
    while (T--) {
        memset(dp,,sizeof(dp));
        memset(num,,sizeof(num));
        memset(vis,,sizeof(vis));
        memset(c,,sizeof(c));
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&MOD);
        init(n,MOD);
        for (int i=;i<=m;i++) {
            scanf("%lld%lld",&temp,&loc);
            vis[loc]++;
        }
        bool flag=;
        for (int i=n;i>=;i--) {
            num[i]=num[i+]+vis[i];
            if (num[i]>n-i+) {
                printf("NO\n");
                flag=;
                break;
            }
        }
        if (flag) continue;
        memset(num,,sizeof(num));
        for (int i=;i<=n;i++) num[i]=num[i-]+vis[i];
        printf("YES ");
        work();
    }
}