多重背包!!!(二进制优化的01背包)hdoj-2844
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
int dp[];
int val[];
int cnt[];
int n,m;
void comdp (int w,int v,int m) {
for (int i=w;i<=m;i++)
dp[i]=max (dp[i],dp[i-w]+v);
}
void zerodp (int w,int v,int m) {
for (int i=m;i-w>=;i--) {
dp[i]=max (dp[i],dp[i-w]+v);
}
}
int main ()
{
while (~scanf ("%d %d",&n,&m)&&(n||m)) {
for (int i=;i<=m;i++) dp[i]=-inf; dp[]=;
for (int i=;i<=n;i++)
scanf ("%d",&val[i]);
for (int i=;i<=n;i++)
scanf ("%d",&cnt[i]);
for (int i=;i<=n;i++) {
if (val[i]*cnt[i]>=m)
comdp(val[i],val[i],m); // 体积 价值 最大体积 多重背包
else {
int num=cnt[i];
for (int k=;k<=num;k*= ) {
zerodp(k*val[i],k*val[i],m); // 0-1背包
num-=k;
}
if (num) zerodp(num*val[i],num*val[i],m);
}
}
int ans=;
for (int i=;i<=m;i++) {
if (dp[i]>) ans++;
}
printf ("%d\n",ans);
}
return ;
}
二进制优化的证明
定理:一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1(k是满足n-2^k+1>0的最大整数)的形式,且1~n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。
证明如下:
(1) 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n,所以若干元素的和的范围为:[1, n];
(2)如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示,这个很容易证明:我们把t的二进制表示写出来,很明显,t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^(k-1),其中ak=0或者1,表示t的第ak位二进制数为0或者1.
(3)如果t>=2^k,设s=n-2^k+1,则t-s<=2^k-1,因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式,进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1),s中某几个数的和(加数中一定含有s)的形式。
(证毕!)
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