数据挖掘十大经典算法[0]-K-Means算法

K-Means算法的输入N,K和一个size为N的向量组vector.输出K个两两互不相交的向量组.其本质是将给定的向量组划分成K个类别,使得同类别的向量相似度比较大,而不同类别的向量之间的相似度较小.
    比如以下这个图,人肉眼能看出有四个点团,但计算机不知道,为了让计算机明白这一点,可以将点的坐标提取到向量组中,而向量之间的相似度定义为点之间的距离的相反数或者倒数.从而将这些点分开.
    实现过程:
    (1)从n个数据对象任意选择k个对象作为初始聚类中心;
    (2)根据每个聚类对象的均值(中心对象),计算每个对象与这些中心对象的距离,并根据最小距离重新对相应对象进行划分;
    (3)重新计算每个(有变化)聚类的均值(中心对象);
    (4)计算标准测度函数,当满足一定条件,如函数收敛时,则算法终止,如果条件不满足则回到步骤(2).
    实际应用中的问题:
    事实上,我是一个做ACM的选手,所以我比较感兴趣的是K-Means能否求得一个最优解.对于这样一个问题:从N个点取出K个作为核心,定义两个向量之间的相似度函数f(vector1,vector2),使得所有点与其所对应的核心的相似度之和最大.然而事实让我大失所望,K-Means算法对种子点的选取十分敏感,不同的种子会导致不同的解.

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define Convergence (fabs(last-cur)<1e-8)
#define dist(a,b) (sqrt((x[a]-px[b])*(x[a]-px[b])+(y[a]-py[b])*(y[a]-py[b])))
int x[],y[],qx[],qy[],px[],py[],assign[];
int main()
{
 freopen("data.txt","r",stdin);
 FILE *fp=fopen("output.txt","w");
 int N,K,i,j,k;
 double ave=,MIN=1e15;
 scanf("%d%d",&N,&K);
 for (i=;i<=N;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
 for (int asd=;asd<N;asd++)
 {
 printf("Executing case #%d\n",asd);
 if (asd) printf("Current Average:%.6lf\n",ave/asd);
 printf("Current Minimize:%.6lf\n",MIN);
 printf("----------------------------------------\n");
 fprintf(fp,"Executing case #%d\n",asd);
 if (asd) fprintf(fp,"Current Average:%.6lf\n",ave/asd);
 fprintf(fp,"Current Minimize:%.6lf\n",MIN);
 fprintf(fp,"----------------------------------------\n");
 for (i=;i<=K;i++)
 {
  px[i]=x[(i+asd)%N+];
  py[i]=y[(i+asd)%N+];
 }
 double last=1e15,cur=;
 while (!Convergence)
 {
  printf("%.6lf\n",last);
  last=cur;
  for (i=;i<=N;i++)
  {
   double Min=1e15;
   int v;
   for (j=;j<=K;j++)
   {
    double d=dist(i,j);
    if (d<Min)
    {
     Min=d;
     v=j;
    }
   }
   assign[i]=v;
  }
  for (i=;i<=K;i++)
  {
   int cnt=;
   for (j=;j<=N;j++)
    if (assign[j]==i)
    {
     qx[++cnt]=x[j];
     qy[ cnt ]=y[j];
    }
   double Min=1e15;
   int v;
   for (j=;j<=cnt;j++)
   {
    double tmp=;
    for (k=;k<=cnt;k++)
     tmp+=(sqrt((qx[j]-qx[k])*(qx[j]-qx[k])+(qy[j]-qy[k])*(qy[j]-qy[k])));
    if (tmp<Min)
    {
     Min=tmp;
     v=j;
    }
   }
   px[i]=qx[v];
   py[i]=qy[v];
  }
  cur=;
  for (i=;i<=N;i++) cur+=dist(i,assign[i]);
 }
 ave+=cur;
 MIN=MIN<cur ? MIN:cur;
 }
 printf("Total average:%.6lf\n",ave/N);
 printf("Total MIN:%.6lf\n",MIN);
 fprintf(fp,"Total average:%.6lf\n",ave/N);
 fprintf(fp,"Total MIN:%.6lf\n",MIN);
 return ;
}

运行结果如图所示:

    另一个问题是算法的收敛速度,重新算了一下,结果如下图所示:

    这个结果让我大吃一惊啊,每次迭代之后更新量都很小,而且最终的值(9259914.963696)跟第一个有意义的值(10352922.175732)相差并不是很多.后来我仔细想了一下,应该是跟输入数据有关,我的数据完全是在一定范围内随机生成的,分布比较均匀,所以即使随便选也可以得到相当不错的效果,这是我生成数据的程序:

program makedata;
var i,N,K:longint;
begin
assign(output,'data.txt');
rewrite(output);
    randomize;
    N:=random();
    K:=random();
    writeln(N,' ',K);
    for i:= to N do
        writeln(random(),' ',random());
close(output);
end.

于是我重新写了makedada程序,想法是先随机生成K个核心,再在其周围生成其他的点:

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
 srand(unsigned(time()));
 freopen("data.txt","w",stdout);
 printf("15000 15\n");
 for (int i=;i<=;i++)
 {
  int X=rand()%,Y=rand()%;
  for (int j=;j<=;j++)
  {
   int dx=rand()%,dy=rand()%;
   if (rand()&) dx*=-;
   if (rand()&) dy*=-;
   printf("%d %d\n",X+dx,Y+dy);
  }
 }
 return ;
}

再重新运行一下,得到如下结果:

    可以看出,收敛的速度还是可以的,而且最终结果几乎只有最初解得一半.
    初除此之外,还有一个重要问题,核心数K是作为输入给定的,而在实际应用中是无法预知的.对此可以用ISODATA算法作为补充.