MT【214】焦点弦长公式

已知椭圆焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$,且椭圆与直线$y=x-\sqrt{3}$相切,求
(1)椭圆的方程
(2)过$F_1$作两条相互垂直的直线$l_1,l_2$与椭圆相交于$P,Q,M,N$,求四边形$PNQM$的面积的最大值和最小值.

解答:
1)由直线与椭圆相切的判别法则得

\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
a^2+b^2-3 &= 0 \\
a^2-b^2&=1
\end{aligned} \right.
\end{equation*}

得椭圆方程$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$
2)由焦点弦长公式:$L=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2sin^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt{2}}{1+\sin^2\alpha}$
故$S=\dfrac{1}{2}|PQ||MN|=\dfrac{4}{(1+sin^2\alpha)(1+cos^2\alpha)}=\dfrac{4}{2+\dfrac{1}{4}sin^22\alpha}\in[\dfrac{16}{9},2]$