BZOJ2820: YY的GCD(反演)

题解

题意

题目链接

Sol

反演套路题。。

不多说了，就是先枚举一个质数，再枚举一个约数然后反演一下。

最后可以化成这样子

\[\sum_{i = 1}^n \frac{n}{k} \frac{n}{k} \sum_{p \in P, p | k} \mu(\frac{K}{p})
\]

然后后面的那一坨可以暴力预处理。。复杂度不清楚，但是显然严格小于调和级数，所以也没啥大问题。

/*

*/
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
//#define int long long
const int MAXN = 1e7 + 10, INF = 1e9 + 7;
using namespace std;
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
int T, N, M, prime[MAXN], mu[MAXN], tot, vis[MAXN];
LL g[MAXN];
void Get(int N) {
	vis[1] = 1; mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N; i++) {
		if(!vis[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -1;
		for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++) {
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			else {mu[i * prime[j]] = 0; break;}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= tot; i++)
		for(int j = 1; prime[i] * j <= N; j++) g[prime[i] * j] += mu[j];
	for(int i = 1; i <= N; i++) g[i] += g[i - 1];
}
int calc(int K) {
	return g[K];
}
void solve() {
	N = read(); M = read();
	if(N > M) swap(N, M);
	LL ans = 0;
	for(int k = 1, j; k <= N; k = j + 1) {
		j = min(N / (N / k), M / (M / k));
		ans += 1ll * (N / k) * (M / k) * (g[j] - g[k - 1]);
	}
	cout << ans << '\n';
}
signed main() {
	Get(1e7);
	for(int T = read(); T; T--, solve());
	return 0;
}
/*
4
10 10
120 100
123 1234
10000000 10000000
*/