【Codeforces 1109C 】Sasha and a Patient Friend

Codeforces 1109 C

题意：现在有个碗，每时每刻其中的水量都会加一个整数（可以为负）。

给\(n\)个询问，询问有\(3\)种类型：

• \(1\ t\ s\)：将从第\(t\)秒开始水量增加的速度改为\(s\)。
• \(2\ t\)：删除第\(t\)秒对水量增加速度的改变。
• \(3\ l\ r\ v\)：考虑从第\(l\)秒到第\(r\)秒对水量增加速度的改变，并假设初始时水量为\(v\)，问什么时候水量降至\(0\)。

思路：一看就是道数据结构题。

前两个操作其实都是改变一个时间段的水量增加速度，即区间修改，用线段树维护每一秒的水量增加速度，每个区间和就是一段时间中水量的变化情况。

由于时间段十分长，离散化用到的（即改变过水量增加速度的）时间。然后就要注意了区间不是等长的，求和时要带上一个系数表示这个区间的长度。

然后考虑第三个操作。

这里有两种处理方法，个人写的第一种会TLE，P.S.我写的版本也过了。其实是我线段树的问题：

在我的线段树的下推操作中，我只是将当前的节点的值根据该区间赋的值来更改，并且把标记下推到了下一层节点，但是跑到下一层节点后还得再下推，即使到了最后一层也是如此。所以，最后一层的下推操作就是浪费时间，几乎浪费了两倍，那么就将下推操作改成把两个儿子节点的值都更改了即可。

而别人（ko_osaga）就过了，可能是我自带大常数吧。

• 第一种是二分第一次降至\(0\)的位置\(l\leq i\leq r\)，判断\([l,i)\)区间中最小前缀和\(+v\)是否小于等于\(0\)，如果如此则说明到\(i\)为止水量降为\(0\)过了，则把二分的右边界缩小，否则将二分的左边界扩大。
• 第二种是在线段树上二分。假设现在在线段树的\([a,b)\)区间，其中点为\(mid\)，如果\([a,mid)\)区间中最小前缀和\(+\)当前所查的\(v\)小于等于\(0\)，则说明在\([a,mid)\)中水量已经降为\(0\)过了。否则必须在\([mid,b)\)中才使水量降为\(0\)，则需要使\([mid,b)\)中的最小前缀和加上\([a,mid)\)的和\(+v\)小于等于\(0\)，则\([mid,b)\)所查的\(v\)为\(v+[a,mid)\)的和。

然后就是要考虑怎么求一个区间的最小前缀和了。

在线段树上多记录一个数据\(mn\)，表示这个节点表示的区间中的最小前缀和。

在对整个节点所表示的区间都刷上一个值时，该节点的\(mn\)只可能是两种情况：\(0\)或该节点的和。因为如果刷上的那个值\(<0\)，那么该节点所表示的区间前缀和递减，则肯定取该节点的和为\(mn\)，否则区间前缀和递增，必须取\(0\)为\(mn\)。

在修改结束的上推操作中，该节点的\(mn\)应该取左节点的\(mn\)和右节点的\(mn+\)左节点的和的最小值，因为该节点的最小前缀和可能跨左节点的区间也可能不跨。

每个操作的具体处理：

• 用一个\(set\)保存所有的更改水量增加速度的事件。然后找到当前事件后一个是什么。把中间一段都修改成当前要修改到的速度即可。

• 找到当前事件前一个是什么。把当前事件到其后一个的中间一段修改成前一个所修改到的速度即可。

• 按照上面所说二分即可。

还有一种方法是用一个\(treap\)来维护所有的更改操作，按照发生的时间排序（Um_nik）。

既然\(treap\)的每个节点代表了一个更改操作，那么这个节点所挂的子树就代表了一个区间（一堆操作中最早的到最晚的）。

在\(treap\)的每个节点中需要维护以下信息：

• 这个节点所存的更改操作的时间、将要改到的速度
• 这个节点所挂子树所代表的区间的开始时间和结束时间，以及最后一个时间点的水量增加速度
• 从这个子树表示的区间的开始到结束每个时间点的水量增加速度之和
• 这个子树表示的区间的最小前缀和

然后\(split\)和\(merge\)两个操作都和正常的\(treap\)差不多，但是需要增加一个\(pushup\)操作来更新和与最小前缀和：

该子树的和就是左子树的和\(+\)右子树的和\(+\)左右子树都没有计算到的部分

左右子树都没有计算到的部分是从左子树的最后一个操作到当前节点的操作再到右子树的第一个操作的区间。

如果没有左右子树，则需要特判一下。

每个询问的处理：

• 插入：将\(treap\)分成小于\(t\)和大于\(t\)两部分，然后把新加入的节点放在中间，\(merge\)回去。

• 删除：将\(treap\)分成小于\(t\)、等于\(t\)、大于\(t\)三部分，然后把中间那个节点拿去，\(merge\)回去。

• 查询：将\(treap\)分成小于\(l\)、\(l \leq x \leq r\)、大于\(r​\)三部分，然后在中间的那个部分中二分：

  如果当前节点的左子树的最小前缀和\(+v\)小于等于\(0\)，则在左子树里找；

  如果当前节点的左右子树都没计算到的部分加上左子树的和\(+v\)小于等于\(0\)，则算一下等于\(0​\)时在哪，直接输出。

  否则就肯定在右子树里了。现在的\(v\)需要加上左子树和加左右子树都没计算到的部分。

然后这种方法常数稍微比线段树小一点？