BZOJ 1911 (APIO 2010) 特别行动队

题目描述

　　你有一支由n名预备役士兵组成的部队，士兵从1到n编号，要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如（i，i+1，…，i+k）的序列。

　　编号为i的士兵的初始战斗力为xi，一支特别运动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和，即x=（xi）+（xi+1）+…+（xi+k）。

　　通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x’：x’=ax^2+bx+c，其中a，b，c是已知的系数（a<0）。

　　作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。

　　例如，你有4名士兵，x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为a=-1，b=10，c=-20。此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：第一队包含士兵1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4，3，4，修正后的战斗力分别为4，1，4。修正后的战斗力和为9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

输入格式

输入由三行组成。第一行包含一个整数n，表示士兵的总数。第二行包含三个整数a，b，c，经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1，x2，…，xn，分别表示编号为1，2，…，n的士兵的初始战斗力。

输出格式

输出一个整数，表示所有特别行动队修正战斗力之和的最大值。

样例数据

样例输入

4

-1 10 -20

2 2 3 4

样例输出

9

数据范围

20%的数据中，n<=1000;

50%的数据中，n<=10000;

100%的数据中，1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。

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题解

sum[]为前缀和数组，dp[i]为选到第i个时的最大值。
dp[i]=max(dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c);
dp[i]=(dp[j]+a*sum[j]^2+b*sum[j]-2*sum[i]*sum[j])+a*sum[i]^2+b*sum[i]+c;
  设X(i)=sum[j];
    B(i)=f[i]-a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]-c;
    Y(i)=f[i]+a*sum[i]^2-b*sum[i]
    K(i)=2*a*sum[i]
原式可化为Y=KX+B的形式。

之后用一个单调队列来维护即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;
const int MAXN = 1000005;

int n,sum[MAXN];
int f[MAXN];
int Q[MAXN],head,tail;
int a,b,c;

inline double B(int i){return f[i]-a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]-c;}
inline double K(int i){return 2*a*sum[i];}
inline double X(int i){return sum[i];}
inline double Y(int i){return f[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i];}
inline double sp(int i,int j){return 1.0*(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}

signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%lld",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail && sp(Q[head],Q[head+1])>K(i)) head++;
        f[i]=-(K(i)*X(Q[head])-Y(Q[head])-a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]-c);
        while(head<tail && sp(Q[tail-1],Q[tail])<=sp(Q[tail],i)) tail--;
        Q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}