P1436 棋盘分割[dp]

题目描述

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的两部分中的任意一块继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的平方和最小。

请编程对给出的棋盘及n，求出平方和的最小值。

解析

\(dp[k][i][j][x][y]\)表示当前在切第k刀，当前切\((i,j)\)为左上角，\((x,y)\)为右下角的矩形的最小平方和。

考虑状态转移，一个状态转移到下一个时，它可以继续往两个部分切下去，也就是往两个方向转移。

采用前缀和优化，其中\(calc(i,j,x,y)\)表示以\((i,j)\)为左上角，\((x,y)\)为右下角的矩形的和的平方。

\[dp[k][i][j][x][y]=min(dp[k][i][j][x][y],dp[k-1][i'+1][j][x][y]+calc(i,j,i',y),
\\dp[k-1][i][j][x'][y]+calc(x'+1,j,x,y))
\]

\[dp[k][i][j][x][y]=min(dp[k][i][j][x][y],dp[k-1][i][j'+1][x][y]+clac(i,j,x,j'),
\\dp[k-1][i][j][x][y']+calc(i,y',x,y))
\]

初始化显然是切第0刀时，切任意矩形的最小平方和就是不切，就是该矩形的和的平方。

之前的思路和这个稍稍有些不同，我定义dp数组为当前切剩下以\((i,j)\)为左上角，\((x,y)\)为右下角的矩形的最小平方和，那么就需要四个转移，但是我转移写炸了（摊。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 11
#define MOD 2520
#define E 1e-12
using namespace std;
int dp[16][N][N][N][N],mp[N][N],n;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
inline int calc(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	if(x1>x2) swap(x1,x2);
	if(y1>y2) swap(y1,y2);
	return (mp[x2][y2]-mp[x1-1][y2]-mp[x2][y1-1]+mp[x1-1][y1-1])*(mp[x2][y2]-mp[x1-1][y2]-mp[x2][y1-1]+mp[x1-1][y1-1]);
}
int main()
{
	n=read();
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	memset(dp[0],0,sizeof(dp[0]));
	for(int i=1;i<=8;++i)
		for(int j=1;j<=8;++j){
			dp[0][i][j][i][j]=mp[i][j]=read();
			mp[i][j]+=mp[i-1][j]+mp[i][j-1]-mp[i-1][j-1];
		}
	for(int i=1;i<=8;++i)
		for(int j=1;j<=8;++j)
			for(int x=i;x<=8;++x)
				for(int y=j;y<=8;++y)
					dp[0][i][j][x][y]=calc(i,j,x,y);
	for(int k=1;k<n;++k){
		for(int i=1;i<=8;++i)
			for(int j=1;j<=8;++j)
				for(int x=i;x<=8;++x)
					for(int y=j;y<=8;++y){
						for(int dx=i;dx<=x;++dx)
							dp[k][i][j][x][y]=min(dp[k][i][j][x][y],min(dp[k-1][i][j][dx][y]+calc(dx+1,j,x,y),dp[k-1][dx+1][j][x][y]+calc(i,j,dx,y)));
						for(int dy=j;dy<=y;++dy)
							dp[k][i][j][x][y]=min(dp[k][i][j][x][y],min(dp[k-1][i][j][x][dy]+calc(i,dy+1,x,y),dp[k-1][i][dy+1][x][y]+calc(i,j,x,dy)));
					}
	}
	cout<<dp[n-1][1][1][8][8]<<endl;
	return 0;
}