洛谷P1174 打砖块 | CCPC2021网络赛8.28 1011 动态规划 分组背包

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喜提CCPC2021网络赛原题

题意相当于是要在每一列中选若干个砖块打掉，消耗所需的子弹数并得到对应的得分。最大化k个子弹能得到的最大得分。

预处理出第 \(i\) 列 \(j\) 个子弹能得到的最大得分，记为\(sum[i][j]\)，那么这可以转为一个分组背包问题。但一个小问题是，在没有子弹时，你不能在打掉'Y'格，因此我们需要追踪最后一发子弹的去向。

记\(sum[i][j][0]\)表示第\(i\)列用\(j\)个子弹，全局的最后一发子弹不打在这一列能得到的最大得分，\(sum[i][j][1]\)表示第\(i\)列用\(j\)个子弹，全局的最后一发子弹打在这一列的最大得分。

最后一发子弹没有打在这一列的话，预处理时能从第\(n\)行不断往上爬直到无法爬为止，遇到'Y'就能以0的代价拿下。但若最后一发子弹打在这一列，碰上'N'时，\(sum[i][j][1]\)需要用s\(um[i][j−1][0]\)更新。据此可以写出预处理代码如下：

for (int i = 1; i <= m; i++) {
   	for (int j = n, cnt = 0; j >= 1; j--) {
        if (c[j][i] == 'Y') {
            sum[i][cnt][0] += a[j][i];
        } else {
            cnt++;
            sum[i][cnt][0] = sum[i][cnt-1][0] + a[j][i];
            sum[i][cnt][1] = sum[i][cnt-1][0] + a[j][i];
        }
    }
}

然后考虑修改后的“分组背包”。记\(dp[i][j][0]\)表示前\(i\)列\(j\)发子弹，最后一发子弹不打在前i列能得到的最大得分，\(dp[i][j][1]\)表示前\(i\)列\(j\)发子弹，最后一发子弹打在前\(i\)列能得到的最大得分。转移有如下几种：

1.最后一发打在当前列，即\(l>0\)

dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-l][0]+sum[i][l][1]);

2.最后一发打在前\(i\)列，但不是当前列，即\(j−l>0\)​

dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-l][1]+sum[i][l][0]);

3.最后一发不打在前ii列

dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-l][0]+sum[i][l][0]);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	for (int j = 0; j <= k; j++) {	//一共有j发子弹
        for (int l = 0; l <= min(j, n); l++) {	//尝试在这一列打l发
           	//case 3
            dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][j-l][0]+sum[i][l][0]);
            if (l) {	//case 1
                dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-l][0]+sum[i][l][1]);
            }
            if (j-l) {	//case 2
                dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i-1][j-l][1]+sum[i][l][0]);
            }
        }
    }
}

然后就可以过了。