NC16670 [NOIP2006]能量项链

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题目

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为 $ m\times r \times n $ （Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=1023=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=1023+1035+10510=710。

输入描述

第一行是一个正整数N（4 ≤ N ≤ 100），表示项链上珠子的个数。

第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1 ≤ i ≤ N），当 i < N 时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述

输出一行，是一个正整数E（ E ≤ 2.1*109 ），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

示例1

输入

4
2  3  5  10

输出

710

题解

知识点：区间dp。

和环形石子合并差不多，就转移方程稍微变一下：

\[dp[i][j] = \max(dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i] \cdot a[k + 1] \cdot a[j + 1], dp[i][j])
\]

因为两个区间合并要加上，左区间的头标记 \(a[i]\) 、中转标记 \(a[k+1]\) （即右区间头标记）和右区间尾标记 \(a[j+1]\) （即右区间后一个点的头标记）的乘积。

时间复杂度 \(O(n^3)\)

空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[107 << 1], dp[107 << 1][107 << 1];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i], a[i + n] = a[i];
    for (int l = 2;l <= n;l++) {
        for (int i = 1, j = l;j <= 2 * n - 1;i++, j++) {
            for (int k = i;k < j;k++)
                dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i] * a[k + 1] * a[j + 1], dp[i][j]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}