hdu4675 GCD of Sequence

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4675

题意：

　　给定一个长度为n的序列a，且 1<=a[i]<=m,求分别有多少个序列b,使得GCD(b[1],b[2],...b[n])=x (1<=x<=m),且正好有k个b[i]！=a[i]。

分析：

　　莫比乌斯反演，主要是确定F(x)。

　　用F(x)表示gcd为x的倍数的方案数，f(x)表示gcd为x的方案数。

　　先考虑F(d)怎么计算。可以把a数组中的数分成两类，第一类是必须对应下标不等的，即a[i]不是d的倍数)，其他的就是第二类。

　　假设第二类的数量是p，第一类的数量就是n−p，因为要选择k个不同的，第一类必须不同，所以需要在第二类中选择k−n+p个，而b数组中每一个数都有[m/p]种选择。

　　所以最终的结果就是F(d)=C(p，k-n+p) ∗ ( ([m/d]−1)^(k−n+p) )∗( [m/d]^(n−p) )，然后暴力计算每一个f(d)就好了。总的复杂度是n(logn)。

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>

 using namespace std;
 const int maxn=;
 const long long mod=1e9+;

 int n,m,k;
 int a[maxn];
 int mu[maxn];
 int vis[maxn];
 int prime[maxn];
 int cnt;
 int num[maxn];
 long long jie[maxn],ni[maxn];
 long long F[maxn];
 long long res[maxn];

 void init()
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     mu[]=;
     cnt=;
     for(int i=;i<maxn;i++)
     {
         if(!vis[i])
         {
             prime[cnt++]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(int j=;j<cnt&&i*prime[j]<maxn;j++)
         {
             vis[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j])
                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];
             else
             {
                 mu[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
         }
     }
 }

 long long power(long long a,long long n,long long m)
 {
     long long ans=,tmp=a%m;
     while(n)
     {
         if(n&)
             ans=ans*tmp%m;
         tmp=tmp*tmp%m;
         n=n/;
     }
     return ans;
 }

 long long C(long long n,long long m)
 {
     if(n==)
         return ;
     return jie[n]*ni[m]%mod*ni[n-m]%mod;
 }

 int main()
 {
     init();
     ni[]=;
     jie[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++)
     {
         jie[i]=jie[i-]*i%mod;
         ni[i]=power(jie[i],mod-,mod);
     }
     while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
             scanf("%d",&a[i]);
         memset(num,,sizeof(num));
         for(int i=;i<=n;i++)
             num[a[i]]++;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             long long p=;
             for(int j=;j*i<=m;j++)
                 p+=num[i*j];
             if(k-n+p<)
                 F[i]=;
             else
                 F[i]=C(p,k-n+p)*power(m/i-,k-n+p,mod)%mod*power(m/i,n-p,mod)%mod;
         }
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             long long ans=;
             for(int j=;i*j<=m;j++)
             {
                 ans+=mu[j]*F[i*j];
                 ans=(ans%mod+mod)%mod;
             }
             if(i==)
                 printf("%lld",ans);
             else
                 printf(" %lld",ans);
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }