P、NP、NP完全问题

如果一个算法的最差时间效率属于O(p(n)),则该算法可以在多项式的时间内对问题进行求解，其中p(n)是输入规模n的一个多项式函数。

可以在多项式时间内求解的问题是易解的。不能在多项式时间内求解的问题是难解的。

判定问题是能够回答是或否的问题，通常第一，只有判定问题才属于P。

P类问题是一类能够用确定性的算法，在多项式的时间内求解的判定问题，这种问题类型也称为多项式类型。

为什么要将P约束为判定问题？

1、不能在多项式时间内求解的问题会产生指数级的巨大输出。

2、许多重要问题可以化简为一系列更容易研究的判定问题。

并不是每一个判定问题都能够在多项式的时间内求解，某些判定问题是不能用任何算法求解的，这种问题成为不可判定的问题。这是相对于用算法求解的可判定问题来说的。不可判定问题，我们称它为停机问题：给定一段计算机程序和它的一个输入，判断对于该输入是会终止，还是会无限的运行下去。

存在可以判定，但又难解的问题。也有许许多多的重要问题，我们竟没有找到它的多项式类型算法，也无法证明这样的算法不存在。比如哈密顿回路问题，旅行商问题，背包问题，划分问题，装箱问题，图的着色问题，整数线性规划问题。这些问题中有一些是判定问题，另一些不是判定问题，都可以转化为等价的判定问题，这些问题的共同点是，他们都有着按这指数增长的候选项，其规模是输入规模的函数，我们需要在这些候选项中寻找问题的最终结。其次，虽然在计算机上对问题的求解可能是困难的，但是在计算上判定一个待定解是否解决了该问题，就是简单的，这种判定可以在多项式时间内完成。

一个不确定算法是一个两阶段过程，他把一个判定问题的实例l作为它的一个输入，并进行下面的操作：

　　非确定阶段，生成一个任意串s，，把它当作给定实例的一个候选解。

　　确定阶段，确定算法把l和s都作为它的输入，如果s的确是l的一个解，就输出是，否则输出否或者不停下来。

　　当且仅当对于问题都每一个真实例，不确定算法都会在某次执行中返回是的时候，我们说它能够求解这个判定问题。

　　如果一个不确定算法在验证阶段的时间效率是多项式级的，我们说它是不确定多项式的类型。

NP类问题是一类可以用不确定多项式算法求解的判定问题，这种问题类型称为不确定多项式类型。

大多数判定问题都属于NP问题。NP问题也包含哈密顿回路问题，旅行商问题，背包问题，划分问题，装箱问题，图的着色问题，整数线性规划问题。停机问题则属于为数很少，一句不属于NP问题的判定问题。

一个NP完全问题是NP中的一个问题，他和该类型中任何其他问题的难度都是一样的，NP中的任何其他问题都能够在多项式的时间内化解为这种问题.

一个判定问题D是NP完全问题，条件是，一它属于NP问题，二NP中的任何问题都能够在多项式时间内化简为D.