正睿国庆DAY2动态规划专题

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排列-例题

1. 1~n 的排列个数，每个数要么比旁边两个大，要么比旁边两个小

   \(f[i][j]\) 填了前i个数，未填的数有\(j\)个比第\(i\)个小，是波峰

   \(g[i][j]\)是波谷

   \(f[i][j] -g[i+1][j']\)

   \(g[i][j]-f[i+1][j']\)

   可以前缀和优化

2. n个数的排列中恰好有k个位置满足\(a_i<a_{i+1}\)的个数

   可能是今天唯一自己想出来的题了23333

   \(f[i][j]\) 前i个数的排列有j个小于号的排列个数，并考虑插入第\(i+1\)个数

   放最前面：\(f[i][j]->f[i+1][j]\)

   放中间的小于号 ：\(j*f[i][j] -> f[i+1][j]\)

   放中间的大于号 ：\((i-1-j)*f[i][j] -> f[i+1][j+1]\)

   放最后面：\(f[i][j]->f[i][j-1]\)

   然后可以搞组合计数优化

排列dp的处理总结：

1. 枚举个数/剩余个数
2. 插入法（通常更优）

优化复杂度

状态数

• 合理设计
• 去掉没有用的状态

转移

• 前缀和
• 数据结构优化
• 矩阵优化（递推）
• trivival -> non-trivival (改掉某些转移，便乘不显然的形式)

优化空间

• 滚动数组

继续例题

1. CF273D

2. Minimizing Maximizer

   f[i]为\(1- i\)被覆盖的最小代价，用树状数组维护区间\(f\)最小值就可以了

3. CF1209E2

   即每行选一个数使得和最大

   1. 普通dp: \(3^n*m\)
   2. 每一列只需要考虑前n个最大的
   3. 考虑每列循环移位同样的步数答案都一样，可以优化成\(2^nn^2\)

4. Peaks

   \(n\) 个数排列中恰好有 \(k\) 个峰的方案数，\(\pmod {239}\)

   \(n\leq 10^{15},k\leq 30\)

   \(f[i][j]\) 前\(i\)个数，有\(j\)个峰，考虑添加第\(i+1\)个数

   1. 搞掉前面的一个峰：\(f[i+1][j]+=f[i][j]*2j\)
   2. 否则\(f[i+1][j+1]+=f[i][j]*(i+1-2*j)\)

   可以写成矩阵乘法，且\(M_i=M_i+239\)