Forethought Future Cup - Elimination Round D 贡献 + 推公式 + 最短路 + 贪心

https://codeforces.com/contest/1146/problem/D

题意

有一只青蛙,一开始在0位置上,每次可以向前跳a,或者向后跳b,定义\(f(x)\)为青蛙在不跳出区间[0,x]能跳到多少个不同的位置上,计算\(\sum^m_{i=0}f(i)\)

题解

• 计算点贡献,计算有多少个区间包含i即i的贡献,设d[i]为走到i经过的最大的点,假如i点能走到,那么包含他的区间就是[d[i],d[i]+1,d[i]+2,...,n]
• 裴蜀定理有\(ax+by=gcd(a,b)\),即一定能走到gcd(a,b)的倍数上
• 假如i>a+b,则d[i]=i(关键)
• 所以对于\(i<a+b\)的点,用最短路计算出d[i],暴力统计区间
• 在a+b区间内,最贪心的走法是能向后走就像后走,这样能把该走的点走完

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e9;
ll n;
int a,b;
int d[500005],vi[500005];
struct N{
	int x,d;
	N(int x=0,int d=0):x(x),d(d){}
	bool operator <(const N& rhs)const{
		return d>rhs.d;        //优先队列反着来
	}
};
void dij(int n){
	priority_queue<N>Q;
	for(int i=0;i<=n;i++){d[i]=inf;vi[i]=0;}
	d[0]=0;
	Q.push(N(0,0));
	while(!Q.empty()){
		N u=Q.top();Q.pop();
		if(vi[u.x])continue;
		vi[u.x]=1;
		if(u.x-b>=0&&d[u.x-b]>d[u.x]){
			d[u.x-b]=d[u.x];
			Q.push(N(u.x-b,d[u.x-b]));
		}
		if(u.x+a<=n&&max(u.x+a,d[u.x])<d[u.x+a]){
			d[u.x+a]=max(u.x+a,d[u.x]);
			Q.push(N(u.x+a,d[u.x+a]));
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>a>>b;
	ll g=__gcd(a,b);
	dij(a+b);
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=a+b;i++)ans+=max(0ll,n-d[i]+1);
	ll cnt=n/g-(a+b)/g;
	if(cnt>0){
		ll tp=1ll*(1+n)*cnt;
		ll l,r;
		for(r=n;r>a+b;r--)if(r%g==0)break;
		for(l=a+b+1;l<=n;l++)if(l%g==0)break;
		ans+=tp-1ll*(l+r)*cnt/2;
	}
	cout<<ans;
}