BZOJ 3130: [Sdoi2013]费用流网络流+二分

3130: [Sdoi2013]费用流

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Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

HINT

【样例说明】

对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用

为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

Source

想法：题目中“Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案”，就是说Alice选了一个方案后，Bob才分配。通过乘法分配律什么的，可以得到Bob把花费全放在在流量最大的那条边上的总费用最优。于是限制一下通过一条边的最大流量。

鉴于$\frac{最大流}{路径数}$可能为实数，所以上限可以是实数。然后就是二分+网络流了.....

#include<cstdio>

typedef long long ll;

const int MAXN(),MAXM();

const double eps(1e-),INF(0x7fffffff);

int n,m,p,a[MAXM],b[MAXM],c[MAXM],S,T;

double sum,big_flow,small_cost;

struct Node{int nd,nx;double fl;}bot[MAXM<<];int tot=,first[MAXN];

void add(int a,int b,double f){bot[++tot]=(Node){b,first[a],f};first[a]=tot;}

void addedge(int a,int b,double f){add(a,b,f);add(b,a,);}

double min(double a,double b){return a>b?b:a;}

void build(double limt)

{

    for(int i=;i<=n;i++)first[i]=;tot=;

    for(int i=;i<=m;i++) addedge(a[i],b[i],min(limt,c[i]));

}

int q[MAXN],dis[MAXN],l,h,now;

bool bfs(int S,int T)

{

    for(int i=;i<=n;i++)dis[i]=INF;

    q[l=]=S;dis[S]=;h=;

    while(h<l)

    {

        now=q[++h];

        for(int v=first[now];v;v=bot[v].nx)

        if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==INF)

        q[++l]=bot[v].nd,dis[bot[v].nd]=dis[now]+;

    }

    return dis[T]!=INF;

}

double dfs(int x,int T,double flow)

{

    if(x==T)return flow;

    double sum=,tmp;

    for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx)

    if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==dis[x]+)

    {

        tmp=dfs(bot[v].nd,T,min(bot[v].fl,flow));

        sum+=tmp; flow-=tmp;

        bot[v].fl-=tmp; bot[v^].fl+=tmp;

        if(!flow)break;

    }

    if(!sum)dis[x]=-;

    return sum;

}

bool ok(double limt)

{

    build(limt); sum=;

    while(bfs(S,T))    sum+=dfs(S,T,INF);

    return sum>=big_flow-eps;

}

int main()

{

//    freopen("C.in","r",stdin);

//    freopen("C.out","w",stdout);

    scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);S=;T=n;

    for(int i=;i<=m;i++) scanf("%d %d %d",a+i,b+i,c+i);

    ok(INF); big_flow=sum;

    for(double l=,r=big_flow,mid;l+eps<r;)

        if(ok(mid=(l+r)/))r=mid,small_cost=mid;else l=mid;

    printf("%.0lf\n%.4lf\n",big_flow,small_cost*p);

    return ;

}