How Many Boyfriends

知乎上看到一个问题，如果一个女人说自己集齐了12个星座的男朋友，那么她已经搞过多少男人了。

先考虑这个问题的最简单版本，如果说该女人每一次和12个星座的男人交往的概率相同。

考虑$dp$

注意到这个问题正向十分不好推（因为如果用f表示从开始到当前的状态的话，只能由当前f推到 对应拓扑图上后面的f）。

考虑从后面推到前面。

$f_n$ 表示已经搞了 $n$ 种男人，搞到12种男人的期望步数。

这样　　$f_n = \frac{n}{12} f_n  + \frac{12-n}{12} f_{n+1} + 1$

化简得　$f_n = f_{n+1} + \frac{12}{12-n}$

这样有 $f_n = n H_n ≈ 37$ 个男人