【HNOI2011/bzoj2337】XOR和路径

第二道高斯消元练习题

---

题意

一张无向图，从点 $1$ 出发每次随机选一条出边走，走到 $n$ 停止，求经过的所有边权异或和的期望。

$n\le 100$

题解

注意一点，异或和的期望 $≠$ 期望的异或和，因为期望是小数，但小数（在 c++ 里）不能异或，而且“期望”具体是什么期望啊。

异或有一个神奇的性质就是每个二进制位互不关联。

所以我们可以拆开考虑每一个二进制位的异或和。

拆位考虑后，还能发现一位的异或和只能是 $0$ 或 $1$，还比较好维护。

对于当前考虑的一个二进制位，设 $dp(i)$ 表示走到点 $i$ 时异或和为 $1$ 的概率，则 $1-dp(i)$ 表示异或和为 $0$ 的概率。

转移也比较显然：$$f(i) = \frac{\sum_{w=0} f(x) + \sum_{w=1} (1-f(x))}{du_i}$$

其中点 $x$ 表示与点 $i$ 直接相连的点，$w$ 表示这条连边的边权。

通过拆 $\sum$、移项得到 $$-\sum_{w=1} 1 = \sum_{w=0} f(x) - \sum_{w=1} f(x) - f(i)\times du_i$$

这就是标准高斯消元的方程了。

合并每个二进制位的答案：$ans+=2^i\times dp_i(n)$