UOJ129 NOI2015 寿司晚宴 数论、状压DP

传送门

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数论题\(n \leq 500\)肯定是什么暴力算法……

注意到每一个数\(> \sqrt{n}\)的因子最多只有一个，这意味着\(> \sqrt{n}\)的因子之间是独立的，而只有\(\leq \sqrt{n}\)的因子之间会相互影响。而\(\leq \sqrt{n}\)的因子只有\(2,3,5,7,11,13,17,19\)总共\(8\)个，所以可以大力状压。

将\(2-n\)之间的所有数质因数分解，记录其中\(<\sqrt{n}\)的因子的出现情况，按照\(> \sqrt{n}\)的因子分类，一组一组地加入并DP。设\(dp_{i,j,k}\)表示第一个人拥有的寿司中\(<\sqrt{n}\)的因子存在情况为\(i\)，第二个人拥有的寿司中\(<\sqrt{n}\)的因子存在情况为\(j\)，当前计算的\(> \sqrt{n}\)的因子的存在情况为\(k\)时的方案数，转移看当前寿司分给第一个人还是第二个人。没有\(> \sqrt{n}\)因子的数先单独做一次。

总复杂度\(O(3^8n)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
//This code is written by Itst
using namespace std;

#define int long long
const int prm[] = {2,3,5,7,11,13,17,19};
int dp[1 << 8][1 << 8][3] , N , MOD;
vector < int > Max[507];

signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    cin >> N >> MOD;
    for(int i = 2 ; i <= N ; ++i){
        int all = 0 , x = i;
        for(int j = 7 ; j >= 0 ; --j){
            all <<= 1;
            if(x % prm[j] == 0){
                while(x % prm[j] == 0)
                    x /= prm[j];
                ++all;
            }
        }
        Max[x].push_back(all);
    }
    dp[0][0][0] = 1;
    for(auto t : Max[1])
        for(int i = (1 << 8) - 1 ; i >= 0 ; --i){
            int s = ((1 << 8) - 1) ^ i , k = s;
            while(1){
                if(!(i & t))
                    dp[i][k | t][0] = (dp[i][k | t][0] + dp[i][k][0]) % MOD;
                if(!(k & t))
                    dp[i | t][k][0] = (dp[i | t][k][0] + dp[i][k][0]) % MOD;
                if(!k) break;
                k = (k - 1) & s;
            }
        }
    for(int p = 2 ; p <= N ; ++p)
        if(!Max[p].empty()){
            for(auto t : Max[p]){
                for(int i = (1 << 8) - 1 ; i >= 0 ; --i){
                    int s = ((1 << 8) - 1) ^ i , k = s;
                    while(1){
                        if(!(i & t))
                            dp[i][k | t][1] = (dp[i][k | t][1] + dp[i][k][0] + dp[i][k][1]) % MOD;
                        if(!(k & t))
                            dp[i | t][k][2] = (dp[i | t][k][2] + dp[i][k][0] + dp[i][k][2]) % MOD;
                        if(!k) break;
                        k = (k - 1) & s;
                    }
                }
            }
            for(int i = (1 << 8) - 1 ; i >= 0 ; --i){
                int s = ((1 << 8) - 1) ^ i , k = s;
                while(1){
                    dp[i][k][0] = (dp[i][k][0] + dp[i][k][1] + dp[i][k][2]) % MOD;
                    dp[i][k][1] = dp[i][k][2] = 0;
                    if(!k) break;
                    k = (k - 1) & s;
                }
            }
        }
    int sum = 0;
    for(int i = (1 << 8) - 1 ; i >= 0 ; --i){
        int s = ((1 << 8) - 1) ^ i , k = s;
        while(1){
            sum = (sum + dp[i][k][0]) % MOD;
            if(!k) break;
            k = (k - 1) & s;
        }
    }
    cout << sum;
    return 0;
}