【BZOJ2876】【Noi2012】骑行川藏 拉格朗日乘法

题目描述

　　给你 \(n,E,s_i,k_i,v_i'\)，要求在

\[\sum_{i=1}^nk_i{(v_i-v_i')}^2s_i\leq E
\]

的前提下最小化

\[\sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}
\]

　　\(n\leq 10000,0\leq E\leq {10}^8,0<s_i\leq {10}^5,0<k\leq 1,-100<v_i'<100\)

题解

　　显然最优解会把体力浪完，所以约束的不等号可以换成等号。

　　这样就变成了：在 \(G(V)=\sum_{i=1}^nk_i{(v_i-v_i')}^2s_i-E=0\) 的前提下最小化 \(F(V)=\sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}\)。

　　运用拉格朗日乘法，有：

\[\begin{cases}
\sum_{i=1}^nk_i{(v_i-v_i')}^2s_i-E=0\\
\frac{s_i}{x_i^2}=2\lambda k_is_i(x_i-v_i)
\end{cases}
\]

　　每个方程左边都是一个在第一象限的双曲线，右边是一条直线。

　　所以一定有一个交点，且 \(\lambda>0\)。

　　可以看出，当 \(\lambda\) 增大时，\(v_i\) 会减小，\(G\) 也会减小，所以 \(G\) 随 \(\lambda\) 递减。

　　所以我们只需要二分 \(\lambda\)，再二分 \(v_i\)，判断 \(G\) 的负号即可。

　　时间复杂度：\(的二分次数的二分次数O(n\times \lambda\text{的二分次数}\times v_i\text{的二分次数})\)

　　二分上界我也不会算，就随便输了一个\({10}^{10}\)

　　这题精度要求比较高，\(eps\)要设为\({10}^{-14}\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c,b=0;
	while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-')
	{
		c=getchar();
		b=1;
	}
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
const double eps=1e-14;
int n;
double a[10010],k[10010],s[10010],v[10010];
double E;
void getv(double x)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		double l=0,r=1e10;
		while(r-l>eps)
		{
			double mid=(l+r)/2;
			double s1=s[i]/mid/mid;
			double s2=2*x*k[i]*s[i]*(mid-a[i]);
			if(s1>s2)
				l=mid;
			else
				r=mid;
		}
		v[i]=l;
	}
}
double calc(double x)
{
	getv(x);
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=k[i]*s[i]*(v[i]-a[i])*(v[i]-a[i]);
	return ans;
}
int main()
{
	open("bzoj2876");
	scanf("%d%lf",&n,&E);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&a[i]);
	double l=0,r=1e10;
	while(r-l>eps)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(calc(mid)>E)
			l=mid;
		else
			r=mid;
	}
	getv(l);
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=s[i]/v[i];
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}