[SDOI2015]序列统计

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标签： NTT 快速幂

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Description

给你一个模m意义下的数集，需要用这个数集生成一个数列，使得这个数列在的乘积为x。

问方案数模\(1004535809\)。

Solution

首先很容易写出一个dp。

\(dp_{i,j}\)数列长度为i,乘积为j的方案数。

这么做是\(O(nm^2)\)的。

所以我们肯定要搞点事情，把n变成logn。

这个数列显然是满足结合律的，并且每次的转移都相同。

于是可以写一个快速幂，把n降为logn。

注意到乘积不太好维护，所以可以用原根来把乘法变成加法。

那么现在问题就变成了，\(dp_{i,j}\)表示数列长度为i,和为j的方案数。

是不是很像一个背包？

注意到每次合并两个背包就是一个卷积，所以我们用NTT维护即可。

最终复杂度。\(O(m\ logm\ logn)\)

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
	int sum=0,p=1;char ch=getchar();
	while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
	if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
	while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
	return sum*p;
}

const int maxn=2e4+20;
const int mod=1004535809;

int yg;
int len,m,en,n,to[maxn];

inline int power(int a,int b,int mod)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)ans=(ll)ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=(ll)a*a%mod;
	}
	return ans;
}

inline void getyg()
{
	for(yg=2;yg<=m-1;yg++)
	{
		int x=m-1,y=x,flg=1;
		for(int i=2;i*i<=y;i++)
		{
			if(x%i)continue;
			while(!(y%i))y/=i;
			if(power(yg,x/i,m)==1){flg=0;break;}
		}
		if(y>1)if(power(yg,x/y,m)==1)continue;
		if(flg)return;
	}
}

int rev[maxn],a[maxn],f[maxn],g[maxn];

void NTT(int *p,int opt)
{
	REP(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(p[i],p[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	{
		int W=power(3,(mod-1)/(i<<1),mod);
		for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
		{
			int w=1;
			for(int k=j;k<j+i;k++,w=(ll)w*W%mod)
			{
				int x=p[k],y=(ll)w*p[k+i]%mod;
				p[k]=x+y;p[k+i]=x-y;
				if(p[k]>=mod)p[k]-=mod;
				if(p[k+i]<0)p[k+i]+=mod;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(p+1,p+n);
		int inv=power(n,mod-2,mod);
		REP(i,0,n-1)p[i]=(ll)p[i]*inv%mod;
	}
}

inline void init()
{
	len=read();m=read();en=read();n=read();
	getyg();
	REP(i,0,m-2)to[power(yg,i,m)]=i;
	REP(i,1,n)
	{
		int x=read();if(!x)continue;
		a[i]=to[x],f[a[i]]++;
	}
	int s=2*(m-1),l=0;
	n=1;while(n<s)l++,n<<=1;
	REP(i,1,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)| ( (i & 1)<<(l-1));
}

inline void doing()
{
	//REP(i,0,n-1)printf("%d ",g[i]);puts("");
	g[0]=1;
	while(len)
	{
		if(len & 1)
		{
			NTT(g,1);
			NTT(f,1);
			REP(i,0,n-1)g[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;
			NTT(g,-1);
			NTT(f,-1);
			REP(i,m-1,n-1)
				g[i%(m-1)]=(g[i%(m-1)]+g[i])%mod,g[i]=0;
		}
		len>>=1;
		NTT(f,1);
		REP(i,0,n-1)f[i]=(ll)f[i]*f[i]%mod;
		NTT(f,-1);
		REP(i,m-1,n-1)
			f[i%(m-1)]=(f[i%(m-1)]+f[i])%mod,f[i]=0;
	}
	printf("%d\n",g[to[en]]);
}

int main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	init();
	doing();
	return 0;
}