[BZOJ 1040][ZJOI2008]骑士

1040: [ZJOI2008]骑士

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Description

　　Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各
界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境
中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一
个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一
些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出
征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有
的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的
情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战
斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

　　第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力
和他最痛恨的骑士。

Output

　　应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

3
10 2
20 3
30 1

Sample Output

30

HINT

N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

题解

分析题意可以得到这应该是个最大权独立集...

然而普适的最大权独立集问题并不可做...这个问题肯定有特殊的地方. 我们发现每个点主动连出去的边有且仅有一条, 我们可以发现这是个环套树.

如果是树的话直接一个 $DP$ 怼上去就可以了, 而对于环套树, 我们可以先进行一遍 $DFS$ 找找是否有环, 没有环直接按树来 $DP$ , 如果有环的话, 任意选一条边断掉转化成树, 标记这条边连接的两个结点, 两个结点中强制某一个不能选, $DP$ 一遍, 换另一个结点强制不选再跑一遍, 在两种情况下取最大值.

断边的过程可以通过维护全局标记实现, 对于与全局标记相等的边直接不走就可以了, 对于强制不选, 则可以在跑一遍 $DP$ 后强行将强制不选的那个结点选中时得到的最大值赋为 $-\infty$ 即可

参考代码

GitHub

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <climits>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>

 const int MAXN=1e6+;

 struct Edge{
     int from;
     int to;
     int ID;
     Edge* next;
 };
 Edge E[MAXN*];
 Edge* head[MAXN];
 Edge* top=E;

 int n;
 int disableV;
 int disableE;
 int cut1,cut2;
 long long ans,tmp;
 bool visited[MAXN];
 long long val[MAXN];
 long long dp[MAXN][];

 void DP(int,int);
 void DFS(int,int);
 void Initialize();
 void Insert(int,int,int);

 int main(){
     Initialize();
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(visited[i])
             continue;
         else{
             DFS(i,);
             disableV=cut1;
             DP(i,);
             tmp=std::max(dp[i][],dp[i][]);
             disableV=cut2;
             DP(i,);
             tmp=std::max(tmp,std::max(dp[i][],dp[i][]));
             ans+=tmp;
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

 void DFS(int root,int prt){
     visited[root]=true;
     for(Edge* i=head[root];i!=NULL;i=i->next){
         if(i->ID==prt)
             continue;
         else if(visited[i->to]){
             cut1=root;
             cut2=i->to;
             disableE=i->ID;
         }
         else
             DFS(i->to,i->ID);
     }
 }

 void DP(int root,int prt){
     dp[root][]=;
     dp[root][]=val[root];
     for(Edge* i=head[root];i!=NULL;i=i->next){
         if(i->ID==disableE||i->ID==prt)
             continue;
         DP(i->to,i->ID);
         dp[root][]+=std::max(dp[i->to][],dp[i->to][]);
         dp[root][]+=dp[i->to][];
     }
     if(root=disableV)
         dp[root][]=LLONG_MIN;
 }

 void Initialize(){
     scanf("%d",&n);
     int tmp;
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%d",val+i,&tmp);
         Insert(i,tmp,i);
         Insert(tmp,i,i);
     }
 }

 inline void Insert(int from,int to,int ID){
     top->to=to;
     top->ID=ID;
     top->from=from;
     top->next=head[from];
     head[from]=top++;
 }

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