Eigen学习之简单线性方程与矩阵分解

　　Eigen提供了解线性方程的计算方法，包括LU分解法，QR分解法，SVD（奇异值分解）、特征值分解等。对于一般形式如下的线性系统：

　　　　　　　　

　　解决上述方程的方式一般是将矩阵A进行分解，当然最基本的方法是高斯消元法。

　　先来看Eigen 官方的第一个例程：

 #include <iostream>
 #include <Eigen/Dense>

 using namespace std;
 using namespace Eigen;

 int main()
 {
     Matrix3f A;
     Vector3f b;
     A << ,,, ,,, ,,;
     b << ,,;
     cout<<"Here is the Matrix A:\n"<< A <<endl;
     cout<<" Here is the vector b:\n"<< b <<endl;
     Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
     cout<<"The solution is:\n"<<x<<endl;
     return ;
 }

运行结果如下：

Eigen内置的解线性方程组的算法如下表所示：

使用这些接口也可以解决矩阵相乘的问题：

 #include <iostream>
 #include <Eigen/Dense>

 using namespace std;
 using namespace Eigen;

 int main()
 {
     Matrix2f A,b;
     A << ,-,-,;
     b << ,,,;
     cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
     cout<<"Here is the right hand side b:\n"<<b<<endl;
     Matrix2f x = A.ldlt().solve(b);
     cout<<"The solution is:\n"<<x<<endl;
     return ;
 }

运行结果如下：

Eigen也提供了计算特征值和特征向量的算法：

下面是一个简单的例子：

 #include <iostream>
 #include <Eigen/Dense>

 using namespace std;
 using namespace Eigen;

 int main()
 {
     Matrix2f A;
     A << ,,,;
     cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
     SelfAdjointEigenSolver<Matrix2f> eigensolver(A);
     if( eigensolver.info() != Success ) abort();
     cout<<" The eigenvalues of A are:\n"<<eigensolver.eigenvalues()<<endl;
     cout<<" Here is a matrix whose columns are eigenvectors of A\n"
         <<" corresponding to these eigenvalues:\n"
         <<eigensolver.eigenvectors()<<endl;
     return ;
 }

运行结果如下：

Eigen 也提供了求逆矩阵和求矩阵行列式的算法，但是这两种算法对于大型矩阵来说都是非常不经济的算法，当需要对大型矩阵做这种的操作时，需要自己判断到底需不需这样做。但是对于小型矩阵 则可以没有顾虑地使用。

下面是一个例子：

 #include <iostream>
 #include <Eigen/Dense>

 using namespace std;
 using namespace Eigen;

 int main()
 {
     Matrix3f A;
     A << ,,,
          ,,,
          -,,;

     cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
     cout<<"The determinant of A is "<<A.determinant()<<endl;
     cout<<"The inverse of A is:\n"<<A.inverse()<<endl;
     return ;
 }

运行结果如下：

Eigen也提供了解最小二乘问题的解法，并给出两种实现，分别是BDCSVD和JacobiSVD,其中推荐使用的一种是BDCSVD。下面是一个例子：

 #include <iostream>
 #include <Eigen/Dense>

 using namespace std;
 using namespace Eigen;

 int main()
 {
     MatrixXf A = MatrixXf::Random(,);
     cout<<"Here is the matrix A:\n"<<A<<endl;
     VectorXf b = VectorXf::Random();
     cout<<"Here is the right hand side b:\n"<<b<<endl;
     cout<<"The least-squares solution is:\n"
         <<A.bdcSvd(ComputeThinU|ComputeThinV).solve(b)<<endl;
     return ;
 }

运行结果如下：