[HNOI2008]玩具装箱TOY --- DP + 斜率优化 / 决策单调性
[HNOI2008]玩具装箱TOY
题目描述:
P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。
他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。
P教授有编号为\(1......N\)的\(N\)件玩具,第\(i\)件玩具经过压缩后变成一维长度为\(C_{i}\).
为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。
同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,
形式地说如果将第\(i\)件玩具到第\(j\)个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为 \(x= j - i + \sum_{k=i}^{j} C_{k}\)
制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为\(x\),其制作费用为\((x - L) ^ {2}\).
其中\(L\)是一个常量。
P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过\(L\)。但他希望费用最小.
输入格式:
第一行输入两个整数\(N,L\).
接下来\(N\)行输入\(C_{i}\).
\(1<=N<=50000, 1<=L,C_{i}<=10^{7}\)
输出格式:
输出最小费用
不难想到,\(dp(i)\)表示把\(1......i\)号玩具装箱的最小费用。
那么有\(dp(i)=min(dp(j)+(\sum_{k=j}^{i} C_{k} + i - j - L - 1)^{2})\)
这个\(O(n^{2})\)的DP一定会超时,因此想办法优化。
决策单调性:
如果把决策点打出来,(用\(O(n^2)\)的DP来记录)
可以观察到满足决策单调性
而这个东西非常的套路。
维护一个\(tra\)指针,表示循环枚举的\(i\)从哪里转移,\(tra\)指针要及时更新
更新出\(dp(i)\)后,用\(dp(i)\)去决定\(i\)的决策区间在哪里
第一步:如果栈顶的决策点不如\(i\),把栈顶决策点退栈,重复直到不满足条件。
(注:细节:当决策点区间右端点比\(i\)还小时,同样要退出循环,并且此时\(i\)的右边全部是它的决策区间,不需要后面的二分了)
第二步:在当前栈顶决策区间中二分,二分出哪些区间的决策点应该更换为\(i\)
时间复杂度:\(O(n \log n)\)
不用化式子,只要打表就好了,这么好的算法,为什么不用用??
斜率优化:
\(dp(i)=min(dp(j)+(\sum_{k=j}^{i} C_{k} + i - j - L - 1)^{2})\)
不妨设 \(pre(i)=\sum_{j=1}^{i} C_{j} +i\)
为了方便,默认\(L++\)
那么
\(dp(i)=dp(j)+(pre(i)-pre(j)-L)^{2}\)
\(dp(i)=dp(j)+pre(i)^{2}+pre(j)^{2}+L^{2}-2*pre(i)*pre(j)-2*pre(i)*L+2*pre(j)*L\)
\(dp(j)-pre(j)^{2}-2*pre(j)*L= -2*pre(i)*pre(j) - dp(i) - 2*pre(i)*L+pre(i)^{2}+L*L\)
那么现在就是一个形如\(y=kx+b\)的式子了
其中\( -2 * pre(i) \)为\( k \),单调递减
其中\(pre(j)\)为\( x \),单调递增
同时,要使\(dp(i)\)最小,就要使\(b\)最大
所以我们要维护一个上凸壳。
因为\(k,x\)同时单调递增,可以选择单调队列
复杂度:\(O(n)\)
[HNOI2008]玩具装箱TOY --- DP + 斜率优化 / 决策单调性的更多相关文章
- BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy [DP 斜率优化]
1010: [HNOI2008]玩具装箱toy Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 9812 Solved: 3978[Submit][St ...
- BZOJ.1010.[HNOI2008]玩具装箱toy(DP 斜率优化/单调队列 决策单调性)
题目链接 斜率优化 不说了 网上很多 这的比较详细->Click Here or Here //1700kb 60ms #include<cstdio> #include<cc ...
- 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy [dp][斜率优化]
Description P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京.他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中.P教授有编号为1... ...
- BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(dp+斜率优化)
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 12451 Solved: 5407[Submit][Status][Discuss] Descript ...
- P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY(斜率优化dp)
P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY 设前缀和为$s[i]$ 那么显然可以得出方程 $f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-L-1)^{2}$ 换下顺序 $f[i]=f[j]+( ...
- 【BZOJ-1010】玩具装箱toy DP + 斜率优化
1010: [HNOI2008]玩具装箱toy Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 8432 Solved: 3338[Submit][St ...
- 【BZOJ 1010】 [HNOI2008]玩具装箱toy (斜率优化)
1010: [HNOI2008]玩具装箱toy Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 9330 Solved: 3739 Descriptio ...
- 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化)
1010: [HNOI2008]玩具装箱toy Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 12280 Solved: 5277[Submit][S ...
- [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化dp)
前言 这是我写的第一道$dp$斜率优化的题目,$dp$一直都很菜,而且咖啡鸡都说了这是基础的东西,然而看别人对$dp$斜率优化一大堆公式又看不懂就老老实实做几道题目,这个比较实在 描述 给出$n$和$ ...
随机推荐
- JSDom
什么是Dom? 1.简介 文档对象模型(Document Object Model,简称DOM),是W3C组织推荐的处理可扩展标志语言的标准编程接口.Document Object Model的历史可 ...
- css 格式中id与class共存
PHP文件中有一段:<div class="post-alt blog" id="post-alt"> CSS文件中有一段:.post-alt {X ...
- 33 - 并发编程-线程同步-Event-lock
目录 1 线程同步 1.1 Event 1.1.1 什么是Flag? 1.1.2 Event原理 1.1.3 吃包子 1.2 Lock 1.2.1 lock方法 1.2.2 计数器 1.2.3 非阻塞 ...
- MySQL源码分析(一)
近段时间简单看了下Mysql源码相关内容,主要从一个select查询出发,查看了一下整个代码结构.分析总结如下: https://mubu.com/doc/explore/13965
- 自动化测试===adb 解锁手机的思路
在adb里有模拟按键/输入的命令 比如使用 adb shell input keyevent <keycode> 命令,不同的 keycode 能实现不同的功能,完整的 keycode 列 ...
- SurfaceFlinger 讲解
SurfaceFlinger是Android multimedia的一个部分,在Android 的实现中它是一个service,提供系统 范围内的surface composer功能,它能够将各种应用 ...
- MySQL5.6 新特性之GTID【转】
转自 MySQL5.6 新特性之GTID - jyzhou - 博客园http://www.cnblogs.com/zhoujinyi/p/4717951.html 背景: MySQL5.6在5.5的 ...
- Codeforces 776C - Molly's Chemicals(思维+前缀和)
题目大意:给出n个数(a1.....an),和一个数k,问有多少个区间的和等于k的幂 (1 ≤ n ≤ 10^5, 1 ≤ |k| ≤ 10, - 10^9 ≤ ai ≤ 10^9) 解题思路:首先, ...
- hdu 5894(组合数取模)
hannnnah_j’s Biological Test Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K ...
- 04 java 基础:数据类型
java 数据类型:基本类型与引用类型 基本类型:数值型,其中数值型分为整型.浮点型,整型包括 byte.short .int.long ,默认为 int 类型.浮点类型分为单精度.双精度,分为 fl ...