某DP题目2

　　题意：

　　　　有一个栈，有n个数1~n按顺序插进栈中，但弹出顺序不定。另有m个限制，表示为a b，即数a必须在数b弹出之前弹出。问有多少种弹出的方案数。n <= 300，m <= 90000

　　分析

　　　　一开始看这题，怎样都没有头绪，画出模型也没看出什么东西来。

　　　　模拟一下进出栈，发现，若数x是最后弹出的，那么1~x-1和x+1~n的弹出过程都是独立的、互不影响的，也就是说可以划分为子问题解决，转化之后就是一个区间DP的模型了。

　　　　那么思考去掉限制，就可以得到DP方程：F[l][r] = Σ(F[l][x-1]*F[x+1][r]);（F[l][r]表示弹出的数的范围为l~r弹出的方案数，x为l~r中最后弹出的数）

　　　　加上限制会如何？我们选择分类讨论。

　　　　假设数a必须在数b弹出之前弹出，且l <= a <= b <= r，则只要a不是最后一个弹出的就可以了。

　　　　为什么呢？

　　　　　　1、a < x <= b显然是正确的；

　　　　　　2、l <= x <= a 或 b <= x <= r，只会影响一边，而dp得到的另一边显然是满足限制条件的。

　　　　那么当l <= b <= a <= r时呢？我们会发现，x是不能取b~a-1的，因为这样的话b肯定比a先弹出，就不满足限制条件了，也就是说这一段是不能转移的。

　　　　可以发现，每一个限制，它不能转移的x都是连续的一段，限制条件的增加也就是对这些段进行合并而已，这样的话我们很容易想到并查集来优化。

　　　　但这样优化后还不够优，还是会超时的，那我们继续优化。

　　　　对于每一个限制，假设为a、b，那么对这个限制有用的区间一定是l <= min(a, b)，r >= max(a, b)，其实就是一个矩阵。而对于限制的不可行k可以表示为两个矩形。枚举所有限制中的所有的不可行的k，按差分的方法把每个矩阵记录在一个二维数组之中，再做一遍前缀和，这样做dp的时候，就可以直接判断该点的前缀和是否大于0来判断这个转移是否可行。

　　　　综上所述，时间复杂度为O(n^3+nm)