[组合][DP]luogu P3643 [APIO2016]划艇

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P3643

对于一个序列，第i项可取的值在{0}∪[ai,bi]之间，求使序列非零部分单调递增的方案数

分析

设 $f[i][j]$ 表示第 i 位选择的值为 j 的方案数，则有

$f[i][j]=\sum_{k=0}^{i-1}\sum_{l=1}^{j-1} f[k][l] (j\in[a_i,b_i])$

$f[i][j]=0 (j\notin[a_i,b_i])$

很容易发现这个方程问题在于 j 的状态数过多，存不下也不能跑

那么考虑离散化取值，就会离散化成 2n 个区间

状态 $f[i][j]$ 变为第 i 位选择的值在第 j 个区间里的方案数

此时转移时 1~i-1 中的学校分为了两类，一类是选择的值没在第 j 个区间里的，一类是在里面的

取值没在第 j 个区间里的不需要额外考虑，在第 j 个区间里的则显然存在可组合情况（因为强制有序所以不是排列情况）

设当前枚举到第 k 个学校， k+1~i 里有 p 个学校可在第 j 个区间选择里，那么组合方案数则为 $\binom{len_j+p}{p}$

考虑简单证明，往 $len_j$ 个值中增加 p 个 0 ，组合出来的结果除去 0 后强制有序显然单调递增，即 $\binom{len_j}{p}$ 为从 $len_j$ 选择 p 个值并单调递增的方案数

加入的 p 个 0 对应着每个位置不选择值，所以是正确的

考虑转移方程中的该式子，因为第i个学校必须选，所以只加入 p-1 个 0 ，即 $\binom{len_j+p-1}{p}$

$f[i][j]=\sum_{k=0}^{i-1}\sum_{l=1}^{j-1} \binom{len_j+p-1}{p}\times f[k][l] (j\in[a_i,b_i])$

$f[i][j]=0 (j\notin[a_i,b_i])$

$\sum_{l=1}^{j-1} f[k][l]$ 可以前缀和，注意预处理组合数减小常数即可

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1e9+7;
const int N=510;
int n,m;
int a[N],b[N],c[2*N];
ll f[N],inv[N],C[N],ans;

ll Pow(ll x,ll y) {ll ans=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%P) if (y&1) ans=ans*x%P;return ans;}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i],&b[i]),c[i*2-1]=a[i],c[i*2]=++b[i],inv[i]=Pow(i,P-2);
    sort(c+1,c+2*n+1);m=unique(c+1,c+2*n+1)-c-1;
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(c+1,c+m+1,a[i])-c,b[i]=lower_bound(c+1,c+m+1,b[i])-c;
    C[0]=f[0]=1;
    for (int k=2,l;k<=m;k++) {
        l=c[k]-c[k-1];for (int i=1;i<=n;i++) C[i]=C[i-1]*(l-1+i)%P*inv[i]%P;
        for (int i=n;i;i--)
            if (a[i]<k&&k<=b[i]) {
                ll h=0;
                for (int j=i-1,cnt=1;j>=0;j--) {
                    (h+=C[cnt]*f[j]%P)%=P;
                    if (a[j]<k&&k<=b[j]) cnt++;
                }
                (f[i]+=h)%=P;
            }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) (ans+=f[i])%=P;
    printf("%lld\n",ans);
}