[问题2014S12] 解答

[问题2014S12]  解答

先证明一个简单的引理.

引理  设 \(B\) 为 \(n\) 阶半正定 Hermite 阵, \(\alpha\) 为 \(n\) 维复列向量, 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha=0\), 则 \(B\alpha=0\).

引理的证明  由假设存在 \(n\) 阶复方阵 \(C\), 使得 \(B=\overline{C}^TC\), 从而 \[0=\overline{\alpha}^TB\alpha=\overline{\alpha}^T\overline{C}^TC\alpha=\overline{(C\alpha)}^T(C\alpha).\] 因此 \(C\alpha=0\), 从而 \(B\alpha=\overline{C}^TC\alpha=0\).  \(\Box\)

回到原题的证明.

任取 \(AB\) 的特征值 \(\lambda_0\in\mathbb{C}\) 以及对应的特征向量 \(0\neq \alpha\in\mathbb{C}^n\), 即 \[AB\alpha=\lambda_0\alpha.\] 上式两边同时左乘 \(\overline{B\alpha}^T\), 则有 \[\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)=\lambda_0\overline{\alpha}^TB\alpha.\] 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha=0\), 则由引理知 \(B\alpha=0\), 于是 \(\lambda_0\alpha=AB\alpha=0\), 从而 \(\lambda_0=0\), 结论成立. 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha\neq 0\), 则由 \(B\) 的半正定性知 \(\overline{\alpha}^TB\alpha>0\), 又由 \(A\) 的半正定性知 \(\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)\geq 0\), 从而 \[\lambda_0=\frac{\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)}{\overline{\alpha}^TB\alpha}\geq 0,\] 即结论也成立. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定阵, 由上面第二种情况的讨论马上知道 \(\lambda_0>0\).  \(\Box\)