Codeforces 777 题目研讨

题目连接

A B C D E

题目分析

A

难度：普及−

题面翻译：

给你三张牌：$0$，$1$，$2$。

最初选一张，然后依次进行 $n$ 次交换，交换规则为：中间一张和左边的一张，中间一张和右边一张，中间一张和左边一张……

最后问选的那张在哪个位置。

算法标签：模拟、枚举、构造、数学

题解：

注意到每 $6$ 次操作为一个周期，在经过一周期后序列被还原成操作前的形态。因此打个表然后直接做就做完了。

B

难度：普及−

题面翻译：

有两个人 S 和 M，他们每人有一段长度为 $N$ 的数字，两个人在每一轮游戏中都可以按顺序拿出一个数字，谁的数字小谁就接受一次惩罚。若相等两者都没有惩罚。另外，M 可以重新安排自己数字的顺序，问 M 的最少被惩罚次数和 S 的最多被惩罚次数是多少。

算法标签：博弈论、数据结构、贪心、排序

题解：

先排个序。

根据一篇著名的博弈论论文$^{[1]}$，有以下策略：

若此轮能赢，则使用最小的能赢下来的牌。
若此轮不能赢，则出当前最小的牌。

证明在原论文内，此处略。

设 S 的牌为 $s_i$，M 的牌为 $m_i$。显然，对于第一问，只要 $s_i \ge m_i$ 就能出 $m_i$ 这张牌。

而对于第二问，出牌条件改为 $s_i>m_i$ 即可。

参考资料：

[1] Sima Qian.The Biography of Sun Wu & Wu Qi[A]Records of the Grand Historian[C].Chang'an:Yang Yun,91BCE:1-2

C

难度：普及+/提高

题面翻译：

给出一个 $n\times m$ 的矩阵。对于第 $j$ 列，如果满足 $\forall i \in [1,n-1],a_{i,j} \leq a_{i+1,j}$，则称这一列是不下降的。

$k$ 次询问，问如果只保留矩阵的第 $L$~$R$ 行，矩阵中是否存在不下降的一列。

算法标签：二分、数据结构、动态规划、贪心、双指针

题解：

注意到本题和最长不下降子串有关。用 $b_{i,j}$ 表示以 $a_{i, j}$ 结尾的最长不下降子串起始位置的下标（注意不是长度），然后预处理出每一行最小的 $b$ 即可在 $O(1)$ 内查询。

D

难度：普及+/提高

题面翻译：

给出 $n$ 个开头是 # 的字符串，你需要通过操作使这些字符串按字典序从小到大排列。

每次操作，你可以把某一个字符串的任意后缀去掉（当然你甚至可以去掉整个字符串），要求你去掉的字符数量最少。

输出你操作完的这 $n$ 个字符串。

算法标签：二分、贪心、字符串

题解：

不难发现，本题和排序没有任何关系。

注意到去除后缀会使字符串的字典序变小，因此 $s_n$ 不需要变化。而对于 $s_i(1\le i\le n-1)$，可以贪心的操作，使其刚好小于等于 $s_{i+1}$。因此从后往前操作即可。

E

难度：提高+/省选−

题面翻译：

给出 $n$ 个环形零件的厚度、内径、外径，要求按以下条件装配若干圆盘后，形成的塔最高。

圆盘应平放。也就是说，对于每个安放的零件，侧视图应当为长方形，而俯视图应为圆环。

圆盘应叠放，而下方的圆盘外径应大于等于上方圆盘的外径。

上方圆盘的外径应严格大于下方圆盘的内径（否则上方圆盘会因重力作用掉到下方圆盘的孔里）。

算法标签：枚举、排序

题解：

这道题和最长上升子序列有点像。先按照 $b_i$ 降序对圆环排序，方便转移。

设 $\text{dp}_i$ 为以 $i$ 为顶的最大塔高，则有转移：

\[\text{dp}_i=\text{max}\{\text{dp}_j+h_i\} (j < i, b_i > a_j)
\]

。于是你 T 了。

因此考虑引入堆优化。将先前的状态压入大根堆中（按 $h$ 排序），直接弹出 $a \ge b_i$ 的栈顶（因为此时堆顶不合法，接下来堆顶一定更不合法），直到合法，然后更新答案即可。

时间复杂度 $O(n\text{log}{n})$，可以通过。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

struct dat {

	int a, b, h;

} ring[100010];

int n, dp[100010];

bool cmp(dat a, dat b) {

	if (a.b != b.b) return a.b > b.b;

	return a.a > b.a;

}

bool operator < (dat x, dat y) { return x.h < y.h; }

priority_queue<dat> q;

signed main() {

	scanf("%lld", &n);

	for (int i = 1; i <= n; i++) {

		scanf("%lld%lld%lld", &ring[i].a, &ring[i].b, &ring[i].h);

	}

	sort(ring + 1, ring + n + 1, cmp);

	q.push({0, 0, 0});

	long long ans = 0;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {

		while (q.top().a >= ring[i].b) q.pop();

		dp[i] = q.top().h + ring[i].h;

		q.push({ring[i].a, ring[i].b, q.top().h + ring[i].h});

		ans = max(ans, dp[i]);

	}

	printf("%lld\n", ans);

	return 0;

}

总结

这套题在 Codeforces 中属于较简单水平，有希望考场 AK（只是有希望）。