Counting Principles计数原理•Arrangement排列•Combination组合•Binomial Theorem二项式定理

Sampling K objects out of N :

Does the K samples have order?

is the object replaceable?

Labeling:

label the K samples out of N.

符号

C-Combination 组合数 [1]

A-Arrangement(旧教材为 P-Permutation)

N-Number 元素的总个数(自然数集合).

M- 参与选择的元素个数(M不大于N, 两者都是自然数集合).

！- Factorial阶乘.

Arrangement排列 与 Combination组合:

注意: n, m都是自然数, 且 m<=n, 下同.

排列的定义：从n个不同元素，任取m个不同的元素, 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个排列；

排列数的定义：从n个不同元素取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的排列数，用符号 或 表示。

计算公式：A(n, m) = n •(n-1)•(n-2)•…•(n-m+1) = n! / (n-m)!

此外规定0! = 1

组合的定义：从n个不同元素，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个组合；

组合数的定义：从n个不同元素取出m个元素的，所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：C(n, m) = A(n, m)/m! = n! / ( m! • (n-m)! )

常用的等式：

C(n, m) = C(n, n-m)

n•C(n-1, k-1) = C(n, k)•k #在n个candidates选举出k人, 包括1名总统及其k-1名内阁,:

# 左侧 n•C(n-1, k-1) 是先选出1人任总统，再由总统选(k-1)个组阁;

# 右侧 C(n, k)•k 是先选出最优的k人，再由他们于他们之中选出1人任总统.

其他排列与组合公式：

• 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!.
• n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,... nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!).

1. k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

Counting 计数原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:

N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:

N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

Binomial Theorem 二项式定理

(a+b)^n = …

通项公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)bi

二项式系数：C(^i_n)杨辉三角：图1。

两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。

系数性质:

和首末两端等距离的系数相等；

当二项式指数n是奇数时，中间两项最大且相等；

当二项式指数n是偶数时，中间一项最大；

二项式展开式奇数项和偶数项总和相同都是2^(n-1);

二项式展开式所有系数总和是2^n