洛谷P4342 [IOI1998]Polygon

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P4342

我会做IOI题辣

思路

算法设计与分析的课堂例题。

首先这是一个环状DP，那么根据老套路，破环成链。发现要求的东西也很相关，就是求环从哪里断开可取到最优解，然后我们就可以很自信地接着往下做了。

考虑链的情况，是一个很裸的区间DP的形式。对区间[j,i]，枚举中断点k，根据符号合并左右两段的结果即可。

比较坑的一点就是乘法。可以发现负数对乘法造成了很坏的影响，不能直接用最大值乘最大值。但是必然是极值乘极值。

于是可以同时维护一个区间的最小DP值和最大DP值，把4种组合方式都查一遍就得到正确的解了。

因为情况比较多，所以转移方程不好写，不过看代码应该就明白了。

代码

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#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int num[200],op[200];
int dp[2][200][200];//dp[0][i][j]表示i~j区间得到的最小值,dp[1][i][j]表示最大值
int main(){
    int i,j,n,m,k;
    int x;
    int ans=-inf;
    char s[10];
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=2*n;++i){
        if(i&1){
            scanf("%s",s);
            if(s[0]=='t') op[(i+1)/2]=1;
            else op[(i+1)/2]=2;
        }
        else{
            scanf("%d",&x);
            num[i/2]=x;
        }
    }
    for(i=n+1;i<=2*n;++i) num[i]=num[i-n];
    for(i=n+1;i<=2*n;++i) op[i]=op[i-n];
    for(i=1;i<=2*n;++i){
        dp[1][i][i]=dp[0][i][i]=num[i];
        for(j=i-1;j>=i-n+1&&j>=1;--j){
            dp[1][j][i]=-inf;dp[0][j][i]=inf;
            for(k=j;k<i;++k){
                if(op[k+1]==1){
                    dp[1][j][i]=max(dp[1][j][i],dp[1][j][k]+dp[1][k+1][i]);
                    dp[0][j][i]=min(dp[0][j][i],dp[0][j][k]+dp[0][k+1][i]);
                }
                else{
                    dp[1][j][i]=max(dp[1][j][i],dp[1][j][k]*dp[1][k+1][i]);
                    dp[1][j][i]=max(dp[1][j][i],dp[1][j][k]*dp[0][k+1][i]);
                    dp[1][j][i]=max(dp[1][j][i],dp[0][j][k]*dp[1][k+1][i]);
                    dp[1][j][i]=max(dp[1][j][i],dp[0][j][k]*dp[0][k+1][i]);
                    dp[0][j][i]=min(dp[0][j][i],dp[0][j][k]*dp[0][k+1][i]);
                    dp[0][j][i]=min(dp[0][j][i],dp[1][j][k]*dp[0][k+1][i]);
                    dp[0][j][i]=min(dp[0][j][i],dp[0][j][k]*dp[1][k+1][i]);
                    dp[0][j][i]=min(dp[0][j][i],dp[1][j][k]*dp[1][k+1][i]);
                }
            }
        }
    }
    for(i=1;i<=n;++i){
        ans=max(ans,dp[1][i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(i=1;i<=n;++i){
        if(dp[1][i][i+n-1]==ans) printf("%d ",i);
    }
    // system("pause");
    return 0;
}