[ARC119E] Pancakes （二维偏序，分类讨论）

题面

一个长为

N

N

N 的序列

S

S

S ，最多翻转序列中一个区间，最小化

∑

i

=

2

N

∣

S

i

−

S

i

−

1

∣

\sum_{i=2}^{N}|S_i-S_{i-1}|

i=2∑N​∣Si​−Si−1​∣
并输出这个值。

2

≤

N

≤

3

×

1

0

5

,

1

≤

S

i

≤

1

0

9

2\leq N\leq 3\times10^5,1\leq S_i\leq10^9

2≤N≤3×105,1≤Si​≤109

题解

算是非常经典的一道题吧（ZYY金句）

我们发现翻转一个区间

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] ，两边和中间的相邻数字差都不会变，只有左右端点附近会变，具体地，会令答案加上

∣

S

r

+

1

−

S

l

∣

+

∣

S

r

−

S

l

−

1

∣

−

(

∣

S

r

+

1

−

S

r

∣

+

∣

S

l

−

S

l

−

1

∣

)

|S_{r+1}-S_l|+|S_{r}-S_{l-1}|-(|S_{r+1}-S_{r}|+|S_l-S_{l-1}|)

∣Sr+1​−Sl​∣+∣Sr​−Sl−1​∣−(∣Sr+1​−Sr​∣+∣Sl​−Sl−1​∣)

这里有四个绝对值，后面两个绝对值分别与

r

r

r 和

l

l

l 单独相关，前面两个就得分类讨论了。

我们不妨令

S

r

+

1

=

x

,

S

r

=

y
  

,
  

S

l

=

a

,

S

l

−

1

=

b

S_{r+1}=x,S_r=y\;,\;S_l=a,S_{l-1}=b

Sr+1​=x,Sr​=y,Sl​=a,Sl−1​=b，那么前面两个绝对值就是

∣

x

−

a

∣

+

∣

y

−

b

∣

|x-a|+|y-b|

∣x−a∣+∣y−b∣

我们想得到这个减去

∣

x

−

y

∣

+

∣

a

−

b

∣

|x-y|+|a-b|

∣x−y∣+∣a−b∣ 的 最小值。

先鲁莽地讨论讨论（由于是取最值，下面全是可取等的也没问题了）：

1. x

   ≥

   a

   ,

   y

   ≥

   b

   :

   (

   x

   +

   y

   )

   −

   (

   a

   +

   b

   )

   x\geq a,y\geq b:~~~(x+y)-(a+b)

   x≥a,y≥b:   (x+y)−(a+b)

2. x

   ≥

   a

   ,

   y

   ≤

   b

   :

   (

   x

   −

   y

   )

   −

   (

   a

   −

   b

   )

   x\geq a,y\leq b:~~~(x-y)-(a-b)

   x≥a,y≤b:   (x−y)−(a−b)

3. x

   ≤

   a

   ,

   y

   ≥

   b

   :

   (

   y

   −

   x

   )

   −

   (

   b

   −

   a

   )

   x\leq a,y\geq b:~~~(y-x)-(b-a)

   x≤a,y≥b:   (y−x)−(b−a)

4. x

   ≤

   a

   ,

   y

   ≤

   b

   :

   −

   (

   x

   +

   y

   )

   +

   (

   a

   +

   b

   )

   x\leq a,y\leq b:~~~-(x+y)+(a+b)

   x≤a,y≤b:   −(x+y)+(a+b)

然后我们其实没必要区分

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y) 和

(

a

,

b

)

(a,b)

(a,b) 的前后关系，因此其实可以省掉

c

a

s

e

3

、

4

\rm case~3、4

case 3、4 ，只讨论

1

、

2

1、2

1、2 。

分类讨论后，这其实就是个二维偏序。随便用什么数据结构或者直接

C

D

Q

\rm CDQ

CDQ 分治都行。

复杂度

O

(

N

log

⁡

N

)

O(N\log N)

O(NlogN) 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define eps 1e-9
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN],b[MAXN],a2[MAXN];
int Abs(int x) {return x < 0 ? -x:x;}
map<int,int> mp;
vector<int> bu[MAXN];
LL tre[MAXN<<2],M;
void maketree(int n) {M=1;while(M<n+2)M<<=1;for(int i = 1;i < (M<<1);i ++)tre[i]=1e18;}
void addtree(int x,LL y) {
	int s=M+x;tre[s]=min(tre[s],y);s>>=1;
	while(s)tre[s]=min(tre[s<<1],tre[s<<1|1]),s>>=1;
}
LL findtree(int l,int r) {
	LL as = 1e18; if(l > r) return as;
	int s = M+l-1,t = M+r+1;
	while(s || t) {
		if((s>>1) ^ (t>>1)) {
			if(!(s & 1)) as = min(as,tre[s^1]);
			if(t & 1) as = min(as,tre[t^1]);
		}else break; s >>= 1;t >>= 1;
	}return as;
}
int main() {
	n = read();
	LL sum = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
		if(i>1) sum += Abs(a[i]-a[i-1]);
		b[i] = a[i];
	}
	sort(b + 1,b + 1 + n);
	int nm = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		if(i == 1 || b[i] > b[i-1]) mp[b[i]] = ++ nm;
	}
	LL asd = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a2[i] = mp[a[i]];
		bu[a2[i]].push_back(i);
		if(i < n) asd = min(asd,(LL)-Abs(a[i]-a[i+1])+Abs(a[i]-a[n]));
		if(i > 1) asd = min(asd,(LL)-Abs(a[i]-a[i-1])+Abs(a[i]-a[1]));
	}
	maketree(nm);
	for(int i = 1;i <= nm;i ++) {
		for(int j = 0;j < (int)bu[i].size();j ++) {
			int y = bu[i][j];
			if(y > 1) {
				LL fd = findtree(1,a2[y-1]) - Abs(a[y]-a[y-1]) + a[y] + a[y-1];
				asd = min(asd,fd);
				addtree(a2[y-1],(LL)-Abs(a[y]-a[y-1])-(a[y]+a[y-1]));
			}
		}
	}
	maketree(nm);
	for(int i = 1;i <= nm;i ++) {
		for(int j = 0;j < (int)bu[i].size();j ++) {
			int y = bu[i][j];
			if(y > 1) {
				LL fd = findtree(a2[y-1]+1,nm) - Abs(a[y]-a[y-1]) + a[y] - a[y-1];
				asd = min(asd,fd);
				addtree(a2[y-1],(LL)-Abs(a[y]-a[y-1])-(a[y]-a[y-1]));
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",sum+asd);
	return 0;
}