Luogu P2619 [国家集训队2]Tree I 凸优化,wqs二分
新学的科技。设\(f(x)\)为选\(x\)条白色边的时候的最小生成树权值和,那么可以猜到它应该是一个下凸函数的形式。
如图,图中\(x\)坐标表示选的白色边条数,\(y\)坐标表示获得的权值,那么我们就可以把\(f(x)\)在这个图上大致表示出来。我们现在并不清除\(x\)和\(y\),所以可以二分一下和这个凸函数相切直线的斜率。设这个直线为\(y = kx + b\),那么对于一个固定的\(x\),截距最小的时候,就是与函数相切的时候嘛,也是答案最优的时候。
我们把这个直线转化成\(y - kx = b\)的形式。由于不清楚会选用几条边,所以可以提前给每一条白色边都减去一个\(k\),这样不管选几条边其影响都可以被直接统计。也就是说我们现在就可以忽略选几条边的问题直接去最小化截距\(b\)了。在最小化截距的同时我们对\(y\)的值和\(x\)的值做一个记录,这样就可以做出应该取用左区间还是右区间的判定啦。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50000 + 5;
const int M = 100000 + 5;
#define pii pair <int, int>
#define mp(x,y) make_pair (x, y)
struct Len {
int u, v, w, c;
void read () {
cin >> u >> v >> w >> c;
}
bool operator < (Len rhs) const {
return w == rhs.w ? c < rhs.c : w < rhs.w;
}
}L[M];
int n, m, k, fa[N];
int find (int x) {
return x == fa[x] ? x : fa[x] = find (fa[x]);
}
pii Kruskal () {
for (int i = 0; i < n; ++i) fa[i] = i;
sort (L, L + m);
int cnt = 0, ret = 0, wht = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int fu = find (L[i].u);
int fv = find (L[i].v);
if (fu != fv) {
cnt += 1;
fa[fu] = fv;
ret += L[i].w;
wht += L[i].c == 0;
}
if (cnt == m - 1) break;
}
return mp (wht, ret);
}
signed main () {
// freopen ("data.in", "r", stdin);
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
L[i].read ();
}
int l = -150, r = 150, ans = 0;
while (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (L[i].c == 0) { // 白色
L[i].w -= mid;
}
}
pii ret = Kruskal ();
// cout << "l = " << l << " r = " << r << " mid = " << mid << " ret = (" << ret.first << ", " << ret.second << ")" << endl;
if (ret.first >= k) {
r = mid;
ans = ret.second + mid * k;
} else {
l = mid + 1;
}
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (L[i].c == 0) {
L[i].w += mid;
}
}
}
// cout << l << " " << r << endl;
cout << ans << endl;
}
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