[CSP-S模拟测试]:棋盘（数学+高精度）

题目描述

在一个大小为$N\times N$的棋盘上，放置了$N$个黑色的棋子。并且，对于棋盘的每一行和每一列，有且只有一个棋子。
现在，你的任务是再往棋盘上放置$N$个白色的棋子。显然，白色棋子不能与黑色棋子重合。在此基础上，放置的方式还需要满足：对于棋盘的每一行和每一列，有且只有一个白色棋子。
当然，放置的方式有很多种，你只需要输出不同的放置方案数即可。

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输入格式

输入文件为$board.in$。
第一行包含一个正整数$N$。
接下来$N$行，每行$N$个整数用于描述棋盘。$0$表示这个位置是空的，而$1$表示这个位置有一个黑棋子。

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输出格式

输出文件为$board.out$。
一行一个整数，表示合法的放置方案数。

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样例

样例输入：

2
0 1
1 0

样例输出：

1

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数据范围与提示

对于$20\%$的数据，满足$N\leqslant 10$。
对于$60\%$的数据，满足$N\leqslant 20$。
对于$100\%$的数据，满足$1\leqslant N\leqslant 200$。

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题解

对于每一列，哪一行放黑子无所谓，那个就是逗你开心的。

先说一下我在考场上的思路，我想到了容斥和组合数。

首先，如果不考虑黑子，那么我们有$N!$种放法。

然后我们可以考虑有黑子的情况，设$f[i]$表示至少有$i$列合法的方案数，此处的合法是指白子和黑子没有放到一起，则：

$$f[i]=(N-i)!\times C_N^i$$

先来解释式子，$(N-i)!$表示剩下的我们还是可以随便选，$C_N^i$则表示在$N$列中选出$i$列。

最后答案就是$\sum \limits_{i=1}^N (-1)^i f[i]$。

然而这个式子太麻烦了，于是$170$行各种高精多和一就爆炸了……

下面来讲官方题解，问题就是让求$N$个数的错排方案数，那么直接用递推式即可：

$$ans_n=(ans_{n-1}+ans_{n-2})\times (n-1)$$

时间复杂度：$\Theta(n^2)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long f[201][1000],flag1,flag2;
void pls(int x)
{
	int jw=0;
	f[x][0]=f[x-1][0];
	for(int i=1;i<=f[x][0];i++)
	{
		f[x][i]=f[x-1][i]+f[x-2][i]+jw;
		jw=f[x][i]/10;
		f[x][i]%=10;
	}
	for(int i=f[x][0]+1;i;i++)
	{
		if(!jw)break;
		f[x][i]+=jw;
		jw=f[x][i]/10;
		f[x][i]%=10;
		f[x][0]=i;
	}
}
void che(int x)
{
	flag2=0;
	for(int i=1;i<=f[x][0];i++)
	{
        flag1=f[x][i]*(x-1)+flag2;
        f[x][i]=flag1%10;
        flag2=flag1/10;
    }
    if(flag2)f[x][++f[x][0]]=flag2;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	f[1][1]=0;
	f[2][1]=1;
	f[2][0]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
	{
		pls(i);
		che(i);
	}
    cout<<f[n][f[n][0]];
    while(--f[n][0])
    {
	    cout.fill('0');
		cout<<setw(1)<<f[n][f[n][0]];
	}
	return 0;
}

---

rp++