CF886E Maximum Element

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

从前有一个叫Petya的神仙，嫌自己的序列求max太慢了，于是将序列求max的代码改成了下面这个样子：

int fast_max(int n,int a[])
{
    int ans=0;
    int offset=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(ans<a[i])
        {
            ans=a[i];
            offset=0;
        }
        else
        {
            offset++;
            if(offset==k)return ans;
        }
    }
    return ans;
}
//大括号换行，无多余空格，by wucstdio

这个函数的原理是，如果碰到一个数后面连续的\(k\)个数都比它小，那么就把这个数当做序列的最大值。

然而很显然，这份代码是错的。这位\(Petya\)神仙对它出错的情况很感兴趣。于是他找到了同为神仙的你，让你求有多少长度为\(n\)的排列，这个函数会返回错误的结果，即返回值不是\(n\)。由于答案过大，你只需要输出这个数对\(10^9+7\)取模的结果。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

一行两个正整数\(n\)和\(k\)，表示排列的长度和上面那份代码里的\(k\)。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

一行一个整数，表示答案对\(10^9+7\) 取模后的值。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

5 2

5 3

6 3

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

22

6

84

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

Permutations from second example:

\([4,1,2,3,5]\) , $[4,1,3,2,5] $, \([4,2,1,3,5] ,\) $[4,2,3,1,5] $, $[4,3,1,2,5] $, \([4,3,2,1,5]\) .

\(\color{#0066ff}{题解}\)

如果正着算，比如 4 2 1 6 5 3，k=2，那么会出现两个符合条件的，但是我们只算一次，所以这样不好算

我们考虑单步容斥，用总数\(n!\)减去最大值是n的

考虑排列中n的位置，那么n前面的数不能出现题目所说的情况

于是我们设\(f[i]\)为长度为i的排列，不会出现一个数后面有k个比它小的数的方案数

还是考虑i的位置来转移，因为i是最大的，所以显然转移为\(f_i=\sum_{j=i-k+1}^if_{j-1}\C_{i-1}^{i-j}*(i-j)!=(i-1)!*\sum_{j=i-k}^{i-1}\frac{f_j}{j!}\)

显然后面的东西可以前缀和优化一下，于是我们可以\(O(n)\)求出f数组！

然后开始统计答案，枚举n的位置i\(ans=\sum_{i=1}^nf_{i-1}*\C_{n-1}^{n-i}*(n-i)!=(n-1)!*\sum_{i=1}^n\frac{f_{i-1}}{(i-1)!}\)

直接线性统计答案即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 5e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, k;
LL fac[maxn], inv[maxn];
LL f[maxn], s[maxn];
LL ksm(LL x, LL y) {
	LL re = 1LL;
	while(y) {
		if(y & 1) re = re * x % mod;
		x = x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}
int main() {
	n = in(), k = in();
	fac[0] = 1;
	for(LL i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	inv[n] = ksm(fac[n], mod - 2);
	for(LL i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	f[0] = s[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = (fac[i - 1] * (s[i - 1] - (i - k - 1 >= 0? s[i - k - 1] : 0) + mod)) % mod;
		s[i] = (f[i] * inv[i] % mod + s[i - 1]) % mod;
	}
	LL ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) (ans += fac[n - 1] * f[i - 1] % mod * inv[i - 1] % mod) %= mod;
	printf("%lld", (fac[n] - ans + mod) % mod);
	return 0;
}