[NOIp2014] luogu P2312 解方程

题目描述

已知方程∑i=0naixi=0\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}=0i=0∑n​ai​xi=0求该方程在 [1,m][1,m][1,m] 内的整数解。

Solution

有一个秦九韶公式就是

a1x1+a2x2+...+anxn=x(a1+a2x1+a3x2+...+anxn−1)=x(a1+x(a2+a3x1+...+anxn−2))=...=x(a1+x(a2+x(a3+x(...).)))\begin{aligned}&\quad a_1x^1+a_2x^2+...+a_nx^n\\
&=x(a_1+a_2x^1+a_3x^2+...+a_nx^{n-1})\\
&=x(a_1+x(a_2+a_3x^1+...+a_nx^{n-2}))\\
&=...\\
&=x(a_1+x(a_2+x(a_3+x(...).)))\end{aligned}​a1​x1+a2​x2+...+an​xn=x(a1​+a2​x1+a3​x2+...+an​xn−1)=x(a1​+x(a2​+a3​x1+...+an​xn−2))=...=x(a1​+x(a2​+x(a3​+x(...).)))​

这样，就证明了原式至多需要做 nnn 次加法和 nnn 次乘法，降低了时间复杂度。

然而这样只能通过 50% 的分数。对于 100% 的数据，取个模即可。