POJChallengeRound2 Guideposts 【单位根反演】【快速幂】

题目分析：

这题的目标是求$$ \sum_{i \in [0,n),k \mid i} \binom{n}{i}G^i $$

这个形式很像单位根反演。

单位根反演一般用于求：$ \sum_{i \in [0,n),k \mid i} \binom{n}{i}f(x)^i $

推理过程略，实际上也就是交换求和符号的事情。

接着就变成裸的矩阵快速幂了

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 int m,k,p;long long n;
 int l,s,t,gg;

 struct mat{int arr[][];}G,bs,mmp;
 vector<int> fac; // factor of p

 void buildbase(int w){
     for(int i=;i<=m;i++)
     for(int j=;j<=m;j++) bs.arr[i][j] = 1ll*w*G.arr[i][j]%p;
     for(int i=;i<=m;i++) bs.arr[i][i] ++,bs.arr[i][i] %= p;
 }

 mat operator*(mat alpha,mat beta){
     memset(mmp.arr,,sizeof(mmp.arr));
     for(int k=;k<=m;k++){
     for(int i=;i<=m;i++){
         for(int j=;j<=m;j++){
         mmp.arr[i][j] += 1ll*alpha.arr[i][k]*beta.arr[k][j]%p;
         mmp.arr[i][j] %= p;
         }
     }
     }
     return mmp;
 }

 mat res;
 mat fstpow(mat now,long long pw){
     memset(res.arr,,sizeof(res.arr));
     for(int i=;i<=m;i++) res.arr[i][i] = ;
     long long bit = ;
     while(bit <= pw){
     if(bit & pw){res = res*bs;}
     bs = bs*bs;bit<<=;
     }
     return res;
 }

 void init(){
     memset(G.arr,,sizeof(G.arr));
     fac.clear();
     l = s = t = gg = ;
 }

 void read(){
     scanf("%d%d%d",&l,&s,&t);
     for(int i=;i<=l;i++){
     int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
     G.arr[u][v]++;
     }
 }

 int fast_pow(int now,int pw){
     int ans = ,dt = now,bit = ;
     while(bit <= pw){
     if(bit & pw){ans = 1ll*ans*dt%p;}
     dt = 1ll*dt*dt%p; bit<<=;
     }
     return ans;
 }

 void getgg(){
     int z = p-;
     for(int i=;i*i<=z;i++){
     if(z % i == ){
         fac.push_back(i);
         while(z % i == ) z /= i;
     }
     }
     if(z != ) fac.push_back(z);
     for(int i=;i<=p;i++){
     int flag = true;
     for(int j=;j<fac.size();j++){
         int z = fast_pow(i,(p-)/fac[j]);
         if(z == ){flag = false; break;}
     }
     if(flag){gg = i;break;}
     }
     gg = fast_pow(gg,(p-)/k);
 }

 void work(){
     int w = ,ans = ;
     for(int i=;i<k;i++,w = 1ll*w*gg%p){
     buildbase(w);
     bs = fstpow(bs,n);
     ans += bs.arr[s][t]; ans%=p;
     }
     ans = 1ll*ans*fast_pow(k,p-)%p;
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main(){
     while(scanf("%d%lld%d%d",&m,&n,&k,&p) == ){
     init();
     read();
     getgg();
     work();
     }
     return ;
 }