BZOJ2005: [Noi2010]能量采集(容斥原理莫比乌斯反演)

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

Source

第二道自己做出来的NOI系列的数学题(雾)

首先$ans = \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M 2 * (gcd(i, j) - 1) + 1$

化简得到$ans = 2 * \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M gcd(i, j) - N * M$

然后就是怎么求GCD啦。这个问题我记得去年的时候遇到过，不过那时候还比较naive不会做

今天重新来想其实还是挺简单的。

利用容斥原理，$gcd(i,j)$对答案的贡献=所有含有$gcd(i,j)$因子的数对 - 不是以$gcd(i, j)$为最大因子的数对

前面那个是$\frac{N}{gcd(i, j)} * \frac{M}{gcd(i, j)}$

后面的可以容斥计算，这里必须要倒着算不然容斥起来很麻烦。。

#include<cstdio>

#include<vector>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#define int long long

const int INF = 1e9 + , MAXN =  * 1e5 + ;

using namespace std;

inline int read() {

    char c = getchar(); int x = , f = ;

    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}

    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();

    return x * f;

}

int N, M;

long long num[MAXN];//以i为最大公约数的数有多少个

long long GetGcd() {

    long long ans = ;

    if(N > M) swap(N, M);

    for(int i = N; i >= ; i--) {

        long long rt = ;

        rt += (N / i) * (M / i);

        for(int j = i << ; j <= N; j += i)

            rt -= num[j];

        num[i] = rt;

        ans += num[i] * i;

    }

    return ans;

}

main() {

#ifdef WIN32

   // freopen("a.in", "r", stdin);

#endif

    N = read(); M =N;

    long long ans = ;

    ans = GetGcd();

    printf("%lld", ans);

}