雅礼集训 Day1 T2 折射

折射

题目描述

小\(\mathrm{Y}\)十分喜爱光学相关的问题,一天他正在研究折射.

他在平面上放置了\(n\)个折射装置,希望利用这些装置画出美丽的折线.

折线将从某个装置出发,并且在经过一处装置时可以转向,若经过的装置坐标依次为\((x_1, y_1),(x_2,y_2),\dots (x_k, y_k)\), 则必须满足:

• \(\forall j\in (1,k],y_j<y_{j-1}\)
• \(\forall j\in (2,k],x_{j-2}<x_j<x_{j-1}\ \mathrm{or}\ x_{j-1}<x_j<x_{j-2}\)

现在他希望你能告诉他,一共有多少种不同的光线能被他画出来,两种光线不同当且仅当经过的折射装置的集合不同.你只需要告诉他答案对\(10^9+7\)取模后的结果.

输入输出格式

输入格式

第一行一个正整数\(n\),表示折射装置的数量.

接下来\(n\)行,每行两个整数\(x_i,y_i\)表示折射装置的坐标.

输出格式

输出一行一个整数,表示答案对\(10^9+7\)取模后的结果.

说明

对于\(10\%\)的数据:\(n\le 700,1\le x_i,y_i\le n\)

对于\(20\%\)的数据:\(n\le 1000,1\le x_i, y_i\le n\)

对于\(50\%\)的数据:\(n\le 4000,|x_i|,|y_i|\le 10^9\)

对于\(100\%\)的数据:\(n\le 6000,|x_i|,|y_i|\le 10^9\)

所有数据满足\(\forall i\not=j,x_i\not=x_j\ \mathrm{and}\ y_i\not=y_j\).

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最后五分钟发现题目看错了emm，爆0嘞

后来发现STD的做法简直玄妙至极

有很多空间\(O(n^2)\)，时间\(O(n^2)\)的50pts做法，不多提了

正解\(dp_{i,0/1}\)代表按\(x\)排序以\(i\)为入射点的光线，像左下方0/右下方1入射，注意这里前\(i\)并不是状态，因为后面可以更改这个\(dp_i\)状态，按\(x\)排序只是为了方便处理

转移呢?

\(\forall y_j<y_i,dp_{i,0} \leftarrow \ dp_{j,1}\)

\(\forall y_j>y_i,dp_{j,1} \leftarrow \ dp_{k,0}|y_k<y_i \ and \ x_k>x_j\)

这里直接借用题解里面说的了

写法也很妙

总结：对于给了一些单调限制条件的\(dp\)，不妨根据限制条件设计方程

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=6010;
const int mod=1e9+7;
struct node
{
    int x,y;
    bool friend operator <(node n1,node n2){return n1.x<n2.x;}
}dx[N];
int n,dp[N][2],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&dx[i].x,&dx[i].y);
    std::sort(dx+1,dx+1+n);
    dp[1][0]=dp[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        dp[i][0]=dp[i][1]=1;
        for(int j=i-1;j;j--)
            if(dx[j].y>dx[i].y)
                (dp[j][1]+=dp[i][0])%=mod;
            else
                (dp[i][0]+=dp[j][1])%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) (ans+=dp[i][0])%=mod,(ans+=dp[i][1]-1)%=mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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2018.10.1