FFT字符串匹配

本文半原创

参考资料：其实就是照抄的什么参考啊

我们知道KMP可以用来在线性复杂度内进行制胡窜匹配

今天教您一种新方法：用FFT进行字符串匹配

您可能觉得这很玄学，FFT不是做多项式卷积的吗，怎么还可以做制胡窜匹配

您先别着急，请接着听

我们设两个字符串--模式串\(a\)，长度为\(m\)，文本串\(b\)，长度为\(n\)。设下标为从0开始

定义函数\(a(i)\)返回a串位置i的字符，\(b(i)\)返回b串位置i的字符（其实就是下标）

定义匹配函数\(c(x,y)=a(x)-b(y)\)，代表a串x位置和b串y位置是否匹配(也就是是否相同)

如果匹配，那么\(c(x,y)=0\)对吧

然后我们再定义完全匹配函数\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}c(i,x-m+i+1)\)，若\(P(x)=0\)，则称B以第\(x\)位结束的连续\(m\)位与A完全匹配

但是这个匹配函数是有问题的

他会导致字符串"ab"和字符串"ba"匹配，你想想是不是，一个-1一个1，加起来就是0喽

所以我们稍微改一下匹配函数：\(c(x,y)=(a(x)-b(y))^2\)，保证\(c(x,y)\ge 0\)，这样是不是就没问题了啊

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(a(i)-b(x-m+i+1))^2\)

您还没有看出什么玄机来

我们可以把\(a\)串翻转，设翻转后的串为\(s\)，则满足\(a(i)=s(m-i-1)\)对吧，下标是从0开始的

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s(m-i-1)-b(x-m+i+1))^2\)

继续观察！发现什么了？？？要不我们换一下元，用\(i\)替换\(m-i+1\)，注意其中\(i\)的范围由\([0,m-1]\)变换到了\([0,m-1]\)你直接说没有变不就得了

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s(i)-b(x-i))^2\)

要不我们把完全平方展开下

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s^2(i)-2s(i)b(x-i)+b^2(x-i))\)

拆一下sigma

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}s^2(i)+\sum_{i=0}^{m-1}b^2(x-i)-2\sum_{i=0}^{m-1}s(i)b(x-i)\)

这式子是不是不错啊

第一项是个定值，可以直接算出啦

第二项，由于加的是一段区间，可以O(n)预处理前缀和

第三项！！！这是什么？不就是我们的卷积吗

FFT即可

时间复杂度O(nlogn)

诶对了

到了这里您可能会发现这个时间复杂度都没KMP优秀

您可能会问我这个算法有个吊毛用啊，FFT还没KMP好写(FFT其实也挺好写的)

别急听我接着讲

如果我们的字符串里有通配符呢

就是说这个通配符跟什么字符匹配都行（注意是字符而不是字符串）

您会发现KMP就GG了

然后我们继续考虑FFT做法

这次我们强制令通配符的ascii为0

定义我们的匹配函数\(c(x,y)=(a(x)-b(y))^2a(x)b(y)\)，那么是不是对于有通配符的都能保证\(c=0\)了呢

然后就是推一波式子的事情了

大家可以试着推推

行了下面是结果

所以我们的\(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(s^3(i)b(x-i)-2s^2(i)b^2(x-i)+s(i)b^3(x-i))\)

我们对\(s,s^2,s^3,b,b^2,b^3\)进行FFT，然后再DFT回来就行啦

例题

有了这个算法之后不就是板子题啦

例题

这题可以用SAM做，@顾z

好像还可以用哈希做。。。还是@顾z

温馨提示：根据生物学知识，人类DNA上的碱基只有四种

大家可以想一想正解

我们对ATCG贡献分开算，这里的贡献指的是不匹配的字符数

假设我们当前强行只计算模式串中A对于匹配串的贡献

先把模式串翻转一下

那么我们把模式串的A当做1，T C G都当做0，把文本串的A当做0，T C G都当做1

然后直接让模式串和文本串卷积（数字很小，可以用NTT优化卷积）

累加的贡献就是A与TCG不匹配的

最后把所有<=3的位置统计即为答案

总结：

这种带通配符/不匹配的字符串题我们一般是构造关于字符串的函数，对某个字符串翻转，然后进行卷积再各种处理。

这种题只是FFT的一种应用。