ZROI 19.07.28 组合计数/lb

T1

题意：\(n\)个变量，\(0 \leq x_i \leq c_i\)，求\(\sum x_i = A\)方案数。\(n \leq 32\)。

Sol：

\(n \leq 10\)的时候容斥很水，然而生成函数掉线了。

\(n \leq 32\)的时候，dls：“显然Meet in Middle。”然后我又掉线了

全世界就我不会生成函数

T2

题意：求\(0\)到\(2n-1\)的排列\(p\)的个数，使得对于任意的\(i\)，\(n^2 \leq i^2+p_i^2 \leq 4n^2\)。\(1\leq n \leq 250\)。

Sol:

显然可以转换为\(l_i \leq p_i \leq r_i\)的形式。

考虑只有\(r_i\)限制的时候，可以按照\(r_i\)排序，然后乘法原理。

直接容斥\(l_i\)并不可做，但是题目有一些性质：

\(l_i,r_i\)都是递减的，且\(\{ r_0, …,r_{n-1}\}\)最大，\(\{ l_0,…,l_{n-1}\}\) 和 \(\{ r_n, …,r_{2n-1}\}\)混杂。

转化一下，变成了如下序列：前半部分\(a, b\)混合，后半部分只有\(c\)，且\(a, c\)之间两两配对，每对只能选一个，每个\(b\)必选。总权值是\(\prod (val_i-rk_i)\times (-1)^{|a|}\)。

考虑外层枚举\(a\)的个数，内层dp中，\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个选\(j\)个\(a\)的权值积，这样每次不管遇到什么元素都可以算出排名。

终于有听懂的题了qwq

dlstxdy！

T3 Loj #575

题意：给定相邻元素间的大小关系，求排列数。\(n \leq 10^5\)。

Sol:

dls:“\(10^5\)是垃圾法法塔，考虑\(n^2\)就好了。”

发现大于=无限制-小于。

把若干大于转成无限制或小于，原序列变成了若干段，每段都是递增序列，答案显然是\(\frac{n!}{\prod p_i!}\)，随便dp就好了。

每次转移一整段，把这一整段的大于全推平。

T4

题意：\(n \times m\)的矩阵，初始均为\(0\)，每行每列可以选一个前缀\(+1\)，求本质不同的矩阵数。\(n, m \leq 10^6\)。

Sol：

dls：“除了行和列的两个前缀恰好形成反L型的两种情况之外，别的都不会重复。”

证明？naidesu

可以硬点其中的某一种不合法，枚举有\(i\)行\(i\)列不合法，容斥系数大概长这样：

\[(-1)^i C(n, i) C(m, i) i!(n+1)^{m-i}(m+1)^{n-i}\]

\(i!\)的意义是\(i\)行，每行选一列去配对。

难点不在容斥，而在于猜结论。

T5 CTS2019 随机立方体

Sol：

结论1：\(n\)个数，每个数都是\([0,1]\)之间的随机实数，等价于一个\([1,n]\)的排列。

结论2：\(n\)个点的树，每个点对应一个排列中的元素，使得树形成小根堆的形式，方案数为\(\frac{n!}{\prod_i^n size_i}\)。

先考虑二维，稍后拓展到三维。

显然\(k\)个极大值不会在同一行或同一列，考虑\(k\)个中最小的，它所在的行和列都要小于它。对于次小值，有两行两列要小于它。以此类推，发现形成了类似树形的结构，利用上面的结论可以算出方案数。

扩展到三维也很容易，只需要多乘一维即可。

但是这样不“恰好”，可能会有更多极大值的情况。

二项式反演即可。

dls：“这题是CTS里简单的那种，虽然也有国家队选手不会做。”

dlstsdy！

T6

题意：\(n\)个点，每次随机两个点连边，问期望多少步之后联通。\(n \leq 100\)。

Sol:

SD省集讲过，虽然我忘得差不多了

Min-Max容斥对期望也适用，因为取并操作的最大次数期望，不能简单的求出每个元素的最大值再取Max。但是最小次数期望就很可做，因为它的意义是最早出现的元素出现的时间，只需要从总的减去没选到这个集合的概率即可。

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Min-Max期望例题：\(n\)个元素的集合，每次生成子集\(S\)的概率为\(p_S\)，问并为全集的期望步数。

对每个集合算出“选不到这个集合的任何一个元素”的概率，直接反演即可。

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dls讲了个看起来很神的连通图计数的做法，大概听懂了一点，式子太长不记了

dls：这题和Min-Max反演没关系，大家散了吧mmp

T7

题意：长度为\(n\)的序列，每次随机一个区间染黑，问期望全黑步数。\(n \leq 100\)。

Sol:

同样是Min-Max容斥，现在需要对每个集合求出“一次染色染不到这个集合的概率”，但是不能硬做。

假设硬点了序列上若干个格子，那么能染的一定是若干个区间，可以dp。

设\(f_{i, j, k}\)是前\(i\)个元素，最后一段连续不选的长度为\(j\)，一共有\(k\)个合法的区间的容斥系数和。枚举第\(i\)个元素选不选，分别转移即可。

Min-Max反演的核心就是考虑如何算出“选不到这个集合”的概率。

T8

题意：\(n \times m\)的网格，有些格点不可达。问从\((1, 0)\)到\((n-1,m)\)和\((0,1)\)到\((n,m-1)\)两条不相交路径的方案数。

Sol:

对于每条相交路径，从第一个交点翻转，可以一一对应一个从\((1, 0)\)到\((n,m-1)\)和\((0,1)\)到\((n-1,m)\)的路径（因为这样的路径必然有交点）。

可以扩展到\(k\)组起终点的情况，但是都需要“必然相交”的条件。（LGV Lemma）（最后会生成一个\(k\)行列式）

T9

题意：在\(n \times m\)的网格里填\([1,k]\)（可重复），要求每个元素都大于等于右边或下边的元素，求方案数。

Sol:

可以杨表做，但是dls想教我们LGV Lemma。

把每个数字的轮廓线拉出来，向左上平移一格，就变成严格不相交路径条数了。

T10 EI与菱形计数

Sol：

SD省集也讲过……不过是yfz讲的。

发现这东西是个立体图，有杨表性质。

（貌似）可以用杨表解的东西都可以转成LGV Lemma？