[BZOJ] 书堆

问题描述

蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限?现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边緣。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌緣（如图），而且不允许同一高度摆多本书。

https://cdn.luogu.org/upload/pic/30575.png

蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们己经用不知道什么方法测出了书的长度M(如图)。如果总共有N本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。

如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。

考虑以下的假设：

• 不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；
• 书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；
• 在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

输入格式

第一行正整数 N M

输出格式

一行(有换行符),L,表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数)

样例输入输出

输入输出样例 1

Input Output

1 100 49

输入输出样例 2

Input Output

2 100 74

解析

一道物理题加数学题......

首先，通过杠杆原理可以得到，最后的长度为

\[ans=\frac{m}{2}*\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2i}}
\]

对于\(\sum\)中的部分，将\(1/2\)提出来后就是调和级数，但直接计算不仅时间不够，而且精度也不够。我们可以通过数学证明百度百科发现，第n个调和数与n的自然对数之差收敛于欧拉常数，即第n个调和数可以近似地估计为

\[\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}=ln(n)- \gamma
\]

其中\(\gamma =0.5772156649......\)。

所以，对于n<1e7，我们直接计算；对于n>1e7，我们用近似公式计算。注意题目说重心不能落在边缘，所以要减去一个极小值后向下取整后输出答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-9;
long long n,m,i,ans;
double ret;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	if(n>10000000) ret=(log(n)+0.5772156649)/2;
	else{
		for(i=1;i<=n;i++) ret+=1.0/(2.0*i);
	}
	ans=m*ret-eps;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}