CF1147F Zigzag Game & 稳定婚姻问题学习笔记

这题太神仙了，不得不记录一下。

我网络流做不动了，DS做不动了，DP做不动了，特别自闭。于是博弈论之神（就是随手切3500博弈的那种） \(\color{black}{\texttt{F}}\color{red}{\texttt{orever_Pursuit}}\) 建议我去学博弈论。

当时看到这题只有两个标签：博弈，交互。就去做了。看到是和交互库玩游戏，感觉很好玩。发现不会，就问了FP。他也不会。然后看题解，发现根本不是博弈（恼。但是这个知识比较重要，还是记一下。准确来说，这是60多年前的论文题/fad，没做过很难现场搞出来。

题解

可以证明选Bob一定必胜（即选择先放棋子）。

首先，我们可以默认我们拿到的操作符是 I ，并且我们选的是左边的数。如果恰好一个有变化，直接把所有边权取相反数即可。

如果必胜，那么意味着我们选了边 \(<a,b>\) ，对方选了 \(<b,c>\) ，我们一定可以找到 \(<c,d>\) ，满足 \(w_{a,b}>w_{b,c},w_{c,d}>w_{b,c}\) 。

这就是稳定婚姻问题，找到一组可行的匹配即可，直接写就完事了简直生草，国外还有论文题。

更明显一点：如果 \(b\) 认为 \(c\) 比 \(a\) 优，那么 \(c\) 一定不能认为 \(b\) 比 \(d\) 优，否则不稳定。

注意两边点的“更优”定义是不同的。左边的点认为更大的更优，右边的点认为更小的更优。

这题没了。可是蒟蒻不会稳定婚姻问题，于是学习笔记就顺带写了（

稳定婚姻问题学习笔记

男孩女孩太不习惯了，我们就用这道题的题面，左边的点匹配右边的点

问题定义

给一张完全二分图（你硬说男生在左女生在右也行），每一对左边的点与右边的点之间都有一个评分 \(w_{i,j}\)，要求把点两两匹配，满足：

设点 \(a,c\) 在同一边，点 \(b,d\) 在另一边，当前 \((a,b),(c,d)\) 匹配。那么对于所有这种 \((a,b,c,d)\) 不能存在 \(w_{b,a}<w_{b,c}\) （\(b\) 认为\(c\) 比 \(a\) 优）且 \(w_{c,b}>w_{c,d}\) （\(c\) 认为\(b\) 比 \(d\) 优）的情况。

如果存在，那么显然 \(b,c\) 会组成一对，因为这对于 \(b,c\) 来说都更优，那么他们会各自拒绝自己原来的匹配，就不稳定了。

算法流程

定义数组 \(mch_i\) 表示 \(i\) 的匹配。

每次取出一个左边的没有匹配的点。
- 如果他当前最优的匹配 \(v\) 没有匹配，那么 \(u\) 匹配 \(v\) 。
- 如果 \(v\) 有匹配并且认为 \(u\) 比他当前的匹配更优，那么 \(u,v\) 匹配，原来的 \(mch_v\) 匹配取消，即 \(mch_v\) 被 \(v\) 拒绝了。
如果每一个节点都有匹配，那么婚姻稳定，退出。

注意 最优匹配 指的是还没有拒绝 \(u\) 的点中，\(u\) 认为最优的匹配。

正确性证明

可行性

假设算法结束后，有一个左边的点和右边的点没有匹配上（存在没匹配那么左右至少各一个点点匹配）

如果一个右边的点被尝试匹配过了，必然有匹配。
如果左边的点一直没有匹配，那么会尝试匹配右边所有的点。

所以右边必然匹配满，那么就不存在失配的问题。

时间复杂度

可以发现，每一个左边的点至多尝试 \(n\) 次与右边的点匹配，那么上界 \(O(n^2)\)

性质

可以发现主动方可以选择到他可以匹配到的最优的匹配。

\(\mathcal{Code}\) （稳定婚姻部分有详细注释。主函数如果你认真看了上面的讲解应该能写出来）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define fi first

#define se second

#define mkp(x,y) make_pair(x,y)

#define pb(x) push_back(x)

#define sz(v) (int)v.size()

typedef long long LL;

typedef double db;

template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}

template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}

#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)

#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)

inline int read(){

	int x=0,f=1;char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}

	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

	return f?x:-x;

}

const int N=55;

int n,w[N][N],mch[N<<1],kth[N<<1],rk[N<<1][N<<1],ID;

vector<int>e[N<<1];

bool cmp1(const int&a,const int&b){return w[ID][a-n]>w[ID][b-n];}

bool cmp2(const int&a,const int&b){return w[a][ID-n]<w[b][ID-n];}

void init(){//稳定婚姻问题模板

	fill(mch+1,mch+n*2+1,0),fill(kth+1,kth+n*2+1,0);

	queue<int>q;

	rep(i,1,n){

		e[i].resize(n+1),e[i+n].resize(n+1);//每一个点的匹配边大小是 n

		rep(j,1,n)e[i][j]=j+n,e[i+n][j]=j;//拉边

		ID=i,sort(e[i].begin()+1,e[i].begin()+n+1,cmp1);

		ID=i+n,sort(e[i+n].begin()+1,e[i+n].begin()+n+1,cmp2);//两边的点对于“优”的定义不同

		rep(j,1,n)rk[i][e[i][j]]=j,rk[i+n][e[i+n][j]]=j;//处理对于 i 这个节点的所有可能的匹配 j 在 i 看来的优秀程度

		q.push(i);//没有匹配的点丢进队列

	}

	while(!q.empty()){

		int u=q.front();q.pop();//找到一个没有匹配的点

		int v=e[u][++kth[u]];//kth 是 u 当前最优的匹配排名

		if(!mch[v])mch[u]=v,mch[v]=u;//v 还没有匹配

		else if(rk[v][u]<rk[v][mch[v]]){

			if(mch[v]<=n)q.push(mch[v]);//mch[v] 失去匹配了，重新丢进队列找匹配

			mch[mch[v]]=0,mch[v]=u,mch[u]=v;//v 认为 u 更优

		}else q.push(u);//没匹配上，丢进去接着找

	}

}

void Main(){

	scanf("%d",&n);

	rep(i,1,n)rep(j,1,n)w[i][j]=read();

	printf("B\n"),fflush(stdout);

	char fyyAK[5];int x;

	scanf("%s%d",fyyAK,&x);

	if((fyyAK[0]=='I')^(x>n))rep(i,1,n)rep(j,1,n)w[i][j]*=-1;

	init();

	while("fyy txdy"){//只能膜拜！

		printf("%d\n",mch[x]),fflush(stdout);

		scanf("%d",&x);if(!~x)break;

	}

}

signed main(){for(int T=read();T;--T)Main();}