P5665 划分

Part 1

先来看一个错误的贪心做法：假设当前结尾的一段和为 \(a\)，等待加入结尾的一段和为 \(b\)，现在要处理新进来的数 \(c\)。

1. \(a\leq b\)，将 \(a\) 算入答案，将 \(b\) 加入结尾。
2. \(a+b\leq c\)，将 \(b\) 并入 \(a\)。
3. \(a\leq b+c\)，此时将 \(a\) 算入答案。

比如说这组数据就能叉掉它：

10 0
5 1 2 1 1 1 1 1 2 3

我们划分成了 \(5+5+8\)，而显然有一组更优的方案 \(5+6+7\) 和一组最优的方案 \(6+6+6\)。

时间复杂度 \(O\left(n\right)\)，期望得分 \(0\)，实际得分 \(8pts\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
ll read()
{
	ll A;
	bool K;
	char C;
	C=A=K=0;
	while(C<'0'||C>'9')K|=C=='-',C=getchar();
	while(C>'/'&&C<':')A=(A<<3)+(A<<1)+(C^48),C=getchar();
	return(K?-A:A);
}
int main()
{
//	freopen("partition.in","r",stdin);
//	freopen("partition.out","w",stdout);
	int n,i;
	bool type;
	ll b,a,c,s;
	n=read(),type=read(),b=read();
	a=s=0;
	For(i,2,n)
	{
		c=read();
		if(a<=b)
		{
			s+=a*a;
			a=b;
			b=c;
		}
		else if(a+b<=c)a=a+b,b=c;
		else if(a<=b+c)
		{
			s+=a*a;
			a=b+c;
			if(i++<n)b=read();
			else
			{
				b=0;
				break;
			}
		}
		else b=b+c;
	}
	cout<<s+(a<=b?a*a+b*b:(a+b)*(a+b));
	return 0;
}

Part 2

发现贪心完全无法考虑到后面的情况，考虑 DP。

令 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数，最后一段长度为 \(j\) 的最小代价。

转移方程也很好写 \(f_{i,j}=\max\left\{\left.f_{i-j,k}+\left(sum_i-sum_{i-j}\right)^2\right|sum_i-sum_{i-j}\geq sum_{i-j}-sum_{i-j-k}\right\}\)。

时间复杂度 \(O\left(n^3\right)\)，期望得分 \(36pts\)，实际得分 \(36pts\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 5005
#define Min(x,y)((x)<(y)?x:y)
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
ll f[N][N],a[N],b[N];
int main()
{
// 	freopen("partition.in","r",stdin);
// 	freopen("partition.out","w",stdout);
	bool type;
	int n,i,j,k;
	ll mn=4000000000000000000ll;
	scanf("%d%d",&n,&type);
	For(i,1,n)scanf("%lld",&a[i]);
	For(i,1,n)b[i]=b[i-1]+a[i];
	For(i,1,n)
	{
		For(j,1,i-1)f[i][j]=4000000000000000000ll;
		f[i][i]=b[i]*b[i];
	}
	For(i,1,n-1)
	For(j,1,i)
	For(k,1,n-i)
	if(b[i+k]-b[i]>=b[i]-b[i-j])f[i+k][k]=Min(f[i+k][k],f[i][j]+(b[i+k]-b[i])*(b[i+k]-b[i]));
	For(i,1,n)mn=Min(mn,f[n][i]);
	printf("%lld",mn);
	return 0;
}

Part 3

打表可以发现一个规律：合法情况下，\(j\) 最小，\(f_{i,j}\) 一定最小。

感性理解一下就是每段的和比较小，平方和比较小。也就是能多分段。

证明我会了再来补。

用上这个结论后就比较 easy 了。向前找到第一个合法的转移点然后转移过来。

时间复杂度 \(O\left(n^2\right)\)，期望得分 \(64pts\)，实际得分 \(64pts\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 5005
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
#define Down(i,x,y)for(i=x;i>=(y);i--)
ll a[N],s[N],f[N];
int main()
{
// 	freopen("partition.in","r",stdin);
// 	freopen("partition.out","w",stdout);
	int n,m,i,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	For(i,1,n)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]+=a[i-1];
		Down(j,i-1,0)
		if(a[i]-a[j]>=s[j])break;
		s[i]=a[i]-a[j];
		f[i]=f[j]+s[i]*s[i];
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}

Part 4

用单调队列维护所有可能有用的转移点。

不是越后面的转移点越优吗，为什么不能用指针扫过去？因为转移点的合法程度不是单调的，前面的点不合法，后面的点可能就合法了。

时间复杂度 \(O\left(n\right)\)，期望得分 \(88pts\)，实际得分 \(88pts\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 500005
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
int que[N];
ll g[N],a[N],f[N];
int read()
{
    int A;
    bool K;
    char C;
    C=A=K=0;
    while(C<'0'||C>'9')K|=C=='-',C=getchar();
    while(C>'/'&&C<':')A=(A<<3)+(A<<1)+(C^48),C=getchar();
    return(K?-A:A);
}
int main()
{
	bool type;
    int n,i,head=0,tail=1;
    n=read(),type=read();
    For(i,1,n)a[i]=a[i-1]+read();
    For(i,1,n)
    {
        while(head<tail&&a[i]-a[que[head+1]]>=g[que[head+1]])head++;
        f[i]=f[que[head]]+(a[i]-a[que[head]])*(a[i]-a[que[head]]);
        g[i]=a[i]-a[que[head]];
        while(head<=tail&&a[i]+g[i]<=a[que[tail]]+g[que[tail]])tail--;
        que[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}

Part 5

需要手写高精度。我比较懒就直接用 __int128 了（然而考试的时候并不能用）。注意不要开高精数组计算答案，开个 int 数组记一下转移点即可，最后用高精变量回上去计算，不然直接 MLE。当然还得卡卡常。

调不出来可以看看数据生成有没有写错，被卡了好久。

时间复杂度 \(O\left(n\right)\)，期望得分 \(100pts\)，实际得分 \(88\sim 100pts\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 40000005
#define Mod 1073741824
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
ll a[N];
__int128 f;
int que[N],pre[N];
int read()
{
    int A;
    bool K;
    char C;
    C=A=K=0;
    while(C<'0'||C>'9')K|=C=='-',C=getchar();
    while(C>'/'&&C<':')A=(A<<3)+(A<<1)+(C^48),C=getchar();
    return(K?-A:A);
}
void write(__int128 X)
{
	if(X<0)putchar('-'),X=-X;
	if(X>9)write(X/10);
	putchar(X%10|48);
}
void solve(int x)
{
	while(x)f+=__int128(a[x]-a[pre[x]])*(a[x]-a[pre[x]]),x=pre[x];
}
int main()
{
//	freopen("partition.in","r",stdin);
//	freopen("partition.out","w",stdout);
	bool type;
    int n,i,head=0,tail=1;
    n=read(),type=read();
    if(!type)
    For(i,1,n)a[i]=a[i-1]+read();
    else
    {
    	int x,y,z,u,v,m,p,l,r,last=1;
    	x=read(),y=read(),z=read();
    	u=a[1]=read(),v=a[2]=read(),m=read();
    	while(m--)
    	{
    		p=read(),l=read(),r=read();
    		For(i,last,p)
    		if(i<3)a[i]=a[i-1]+a[i]%(r-l+1)+l;
    		else
			{
				a[i]=(1LL*x*v+1LL*y*u+z)%Mod;
				u=v;
				v=a[i];
				a[i]=a[i]%(r-l+1)+l+a[i-1];
			}
			last=i;
		}
	}
    For(i,1,n)
    {
        while(head<tail&&a[i]-a[que[head+1]]>=a[que[head+1]]-a[pre[que[head+1]]])head++;
        pre[i]=que[head];
        while(head<=tail&&(a[i]<<1)-a[pre[i]]<=(a[que[tail]]<<1)-a[pre[que[tail]]])tail--;
        que[++tail]=i;
    }
    solve(n);
    write(f);
    return 0;
}