[笔记] 扩展$Lucas$定理

$Lucas$定理:$\binom{n}{m} \equiv \binom{n/P}{m/P} \binom{n \% P}{m \% P}\pmod{P}$$(P\ is \ prime)$

Theory

那么如果$p$不是一个质数怎么办?

当我们需要计算$C_n^m\mod p$，其中$p = p_1^{q_1}\times p_2^{q_2}\times ...\times p_k^{q_k}$，我们可以求出：$C_n^m\equiv a_i\pmod {p_i^{q_i}} (1\lt i \lt k)$

然后对于方程组：

$x\equiv a_i \pmod {p_i^{q_i}}(1\lt i\lt k)$

我们可以求出满足条件的最小的$x$,记为$x_0$那么我们有： $C_n^m\equiv x_0\pmod p$

但是，我们发现，$p_i^{q_i}$并不是一个素数，它是某个素数的某次方。

下面我们介绍如何计算$C_n^m \mod p^t(t\ge2,p \ is \ prime)$

我们知道，$C_n^m=\frac {n!}{m!(n-m)!}$，若我们可以计算出$m!\mod p^t$，我们就能计算出$(n-m)!\mod p^t$以及$(n-m)!\mod p^t$.

我们不妨设$x=n!\mod p^t,y=m!\mod p^t,z=(n-m)!\mod p^t,$

那么答案就是

$x\cdot inv(y,p^t)\cdot inv(z,p^t)$那么下面问题就转化成如何计算$n!\mod p^t$.

例如$p=3,t=2,n=19$

$n!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times ...\times19 \\ \ \ \ =(1\times2\times4\times5\times7\times8\times...\times16\times17\times19)\times(3\times6\times9\times12\times15\times18)\\\ \ \ =(1\times2\times4\times5\times7\times8\times...\times16\times17\times19)\times3^6\times(1\times2\times3\times4\times5\times6)$

部分恰好是$(n/p)!$，于是递归即可。前半部分是以$p^t$为周期的$(1\times2\times4\times5\times7\times8)\equiv(10\times11\times13\times14\times16\times17)\pmod9$.下面是孤立的$19$，可以知道孤立出来的长度不超过$p^t$,于是直接计算即可。对于最后剩下的$3^6$这些数我们只要计算出$n!,m!,(n-m)!$里含有多少个$p$(不妨设$x,y,z$)，那么$x−y−z$就是$C_n^m$中$p$的个数，直接计算就行。

Code

// luogu-judger-enable-o2

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cmath>

typedef long long ll;

const ll N = 1e6 + 5;

ll g_x, g_y, cnt;

ll d[N], r[N];

ll q_pow(ll a, ll b, ll p){

    ll w = 1;

    while(b){

        if(b & 1)

            w = (a * w) % p;

        b >>= 1;//1

        a = (a * a) % p;

    }

    return w % p;

}

ll exgcd(ll a, ll b){

    if(b == 0){

        g_x = 1;

        g_y = 0;

        return a;

    }

    ll gcd = exgcd(b, a % b);

    ll t = g_x;

    g_x = g_y;

    g_y = t - a / b * g_y;

    return gcd;

}/*exgcd求逆元 , ab + mt = 1, 前提: gcd(a, m) = 1;

用exgcd求逆元有个好处,不用让模数为素数,只要模数和这个a互质就好*/

ll inv(ll a, ll p){

    exgcd(a, p);

    return (g_x % p + p) % p;

}

ll fac(ll n, ll pi, ll pk){

    if(!n) return 1; //2 //递归边界

    ll res = 1;

    for(register ll i = 2; i <= pk; ++i){

        if(i % pi)//3 pk

             res = (res * i) % pk;

    }/*因为循环节长度最多为pk,所以只需要算一遍pk,选这些数字里面不是pi倍数的数字

    (因为是倍数的,我们已经处理掉了*/

    res = q_pow(res, n / pk, pk);//有n/pk个循环

    for(register ll i = 2; i <= n % pk; ++i){

        if(i % pi)//3 pk

            res = (res * i) % pk;//剩下的暴力做

    }

    return (res * fac(n / pi, pi, pk)) % pk; //递归继续

}

void cal(ll n, ll m, ll pi, ll pk){

    ll up = fac(n, pi, pk), d1 = fac(n - m, pi, pk), d2 = fac(m, pi, pk);

    ll k = 0;

    for(register ll i = n; i; i /= pi) k += i / pi;

    for(register ll i = m; i; i /= pi) k -= i / pi;

    for(register ll i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi;//这三行都是统计pi倍数的个数,后两个要减去是因为组合数的计算不就有个除嘛

    r[++cnt] = q_pow(pi, k, pk) % pk * up % pk * inv(d1, pk) % pk * inv(d2, pk) % pk;

    d[cnt] = pk;//CRT,r表示余数,d表示除数

}

ll mul(ll a, ll b, ll p){

    ll f = 1;

    if(a < 0) f = -f, a = -a;

    if(b < 0) f = -f, b = -b;

    ll w = 0;

    while(b){

        if(b & 1)

            w = (w + a) % p;

        b >>= 1;

        a = (a + a) % p;

    }

    return w * f;

}//龟速乘

ll exCRT(){

    for(register ll i = 2; i <= cnt; ++i){

        ll C = r[1] - r[i];

        ll D = exgcd(d[i], d[1]);

        if(C % D) return -1;

        ll k1 = mul(g_y, C / D, d[1] / D * d[i]);

        ll x0 = mul(-k1 , d[1], d[1] / D * d[i] ) + r[1];

        d[1] = d[1] / D * d[i], r[1] = x0;

        r[1] = (r[1] % d[1] + d[1]) % d[1];

    }

    return r[1];//很好的exCRT

}

ll exlucas(ll n, ll m, ll p){

    ll lim = sqrt(p) + 1;

    ll tmp = p;

    ll pk;

    for(register ll i = 2; i <= lim; ++i){

        if(tmp % i == 0){

            pk = 1;

            while(tmp % i == 0){

                pk *= i;

                tmp /= i;//为了得出pk

            }

            cal(n, m, i, pk);

        }

    }//唯一分解

    if(tmp > 1) cal(n, m, tmp, tmp);//4 唯一分解后可能会留下一个大素数

    return exCRT() % p;//5 pk

}

int main(){

    ll n, m, p;

    scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);

    printf("%lld\n", exlucas(n, m, p));

}

Wrong

快速幂中的指数忘记右移
$fac$递归边界忽略掉了
循环节计算时,是取那些不是$pi$倍数的,而不是不是$pk$倍数的
$exCRT$最后模的是$p$,不是$pk$!!!

爱你哟